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La legge di Gauss

La legge di Gauss

Disciplina: Fisica Elettromagnetismo 
di Paolo Cavallo, 27 Marzo 2009

Salvatore scrive:

Salve
vorrei sapere perché, cioè la ragione intrinseca, la legge di Gauss varia con l’inverso del quadrato.
Grazie.

Ecco la mia risposta:

Immagino che tu ti riferisca al teorema di Gauss per il campo elettrico:
(1)     Flusso(E) = Qtot/ε.
Se è così, la risposta secca sarebbe: Il teorema di Gauss non presenta alcuna dipendenza dall’inverso del quadrato della distanza. Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa, secondo questa legge, non varia al variare delle dimensioni della superficie, almeno fin tanto che ciò non fa variare la carica Qtot racchiusa in tale superficie.

Ma c’è un legame profondo fra la legge di Gauss e la dipendenza da 1/r2 della legge di Coulomb. Se il campo elettrico generato da una carica puntiforme variasse in maniera differente da 1/r2, allora la legge di Gauss sarebbe falsa — e viceversa. Il teorema di Gauss è condizione necessaria e sufficiente affinché il campo elettrico dipenda dall’inverso del quadrato della distanza.

Non è possibile dare una dimostrazione elementare di questa relazione. Il calcolo del flusso del campo elettrico richiede il calcolo dell’integrale di superficie di un vettore su una superficie chiusa arbitraria: si tratta di un’operazione matematica complessa. È possibile farsi un’idea del significato profondo del teorema di Gauss considerando il caso di una superficie di flusso sferica con una carica puntiforme nel centro. In questo caso, discusso da quasi tutti i libri di testo, il flusso è facile da calcolare: E è dovunque perpendicolare alla superficie e ha sempre la stessa intensità Q/4πεr2. Il flusso si ottiene allora moltiplicando E per la superficie della sfera 4πr2.

Si vede allora che il fattore 1/r2 nel campo elettrico cancella esattamente il fattore r2 nella formula della superficie della sfera, dando appunto il risultato discusso prima: il flusso non dipende dal raggio della sfera. Se il campo elettrico variasse, ad esempio, come 1/r3, questo risultato sarebbe evidentemente falso.

Spero di avere dato una risposta soddisfacente. Altrimenti, prova a chiarire meglio i tuoi dubbi.

Tag: campo elettrico, teorema di Gauss


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