Giusy ha un problema:

Un oggetto puntiforme si muove su una traiettoria circolare di raggio R = 1 m ed accelera in maniera uniforme. Sapendo che la sua velocità angolare iniziale vale ω₀ = 1,5 rad/s e che in 5 s percorre l'intera circonferenza per 3 volte

1. Calcolare, per t = 10 s, il numero di giri di circonferenza fatti dall'oggetto ed il modulo della sua accelerazione.
2. Si supponga adesso che la massa non acceleri più uniformemente ma che la sua velocità angolare segua la legge:
        ω = ω₀ + k·(t²)
   L'oggetto fa, come prima, 3 giri di circonferenza in 5 secondi ed ω₀ = 1,5 rad/s. Calcolare nuovamente, per t = 10 s, il numero di giri di circonferenza fatti dall'oggetto ed il modulo della sua accelerazione.

Ecco la mia risposta:

La relazione fra l'angolo Δθ descritto e l'accelerazione angolare α è la stessa che c'è fra la distanza Δs percorsa e l'accelerazione lineare a. Mentre in questo secondo caso si ha:
     Δs = v₀·t + ½ a·t²,
nel primo caso si ha:
     Δθ = ω₀·t + ½ α·t².
Dalle informazioni iniziali ricaviamo α = (Δθ – ω₀·t) / (½t²) = 0,91 rad/s². In 10 s l'angolo descritto è Δθ = 60,5 rad, pari a 9,6 circonferenze.

Al punto 2, l'accelerazione angolare è uguale alla derivata della velocità angolare rispetto al tempo, α = 2k·t (da cui si ricava che il parametro k si misura in rad/s³). L'angolo descritto si può trovare integrando la velocità angolare rispetto al tempo:
     Δθ = ω₀·t +⅓ k·t³.
Sapendo che per t = 5 s, Δθ = 18,85 rad, si ottiene per k il valore 0,27 rad/s³. Dopo 10 s l'angolo descritto sarà pari a 105 rad, cioè 16,7 circonferenze, e α avrà raggiunto il valore 5,4 rad/s².