Antonio è perplesso:

Una scala di massa M e lunghezza L è appoggiata ad una parete verticale priva di attrito, e con l’altro estremo su un pavimento anch’esso privo di attrito. Essa è tenuta ad un angolo α col pavimento per mezzo di una fune orizzontale legata al piede della scala. Sulla scala sale un uomo di massa m e si ferma ai 2/3 della scala. Si calcoli la tensione della fune.

Ecco la mia risposta:

Un disegno è naturalmente indispensabile. Sulla scala agiscono cinque forze:

1. la forza peso P della scala, il cui modulo è Mg, applicata nel baricentro che supporremo al centro della scala;
2. la forza Q dovuta al peso dell'uomo, di modulo mg, applicata a 2/3 della lunghezza della scala;
3. la tensione T della fune;
4. la reazione vincolare R del pavimento;
5. la reazione vincolare N della parete di appoggio.

Perché ci sia equilibrio è necessario che la somma delle forze e quella dei momenti siano entrambe nulle.

Le forze si possono sommare separando le forze che agiscono lungo la direzione perpendicolare al suolo da quelle che agiscono parallelamente ad esso:
     P + Q = –R
     T = –N
dalle quali relazioni si ricava che il modulo di R è uguale a (M + m)g e che i moduli di T e N sono uguali.

Calcoliamo i momenti rispetto al punto O, in modo che il momento di T e quello di R siano nulli. I momenti di P e di Q sono concordi e di verso opposto al momento di N. Si ottiene:
     P·(L/2)·sin[–(π/2+α)] + Q·(2L/3)·sin[–(π/2+α)] + N·L·sin(π–α) = 0
dove si è tenuto conto del verso orario o antiorario dell'angolo che va dal braccio alla forza. Questa equazione si può scrivere come:
     (MgL/2)·[–cos(α)] + (2mgL/3)·[–cos(α)] + NL·sin(α) = 0.

Dall'ultima equazione si ricava:
     T = N = (Mg/2 + 2mg/3)·cot(α).