Paolo ha un problema:

Un punto materiale inizialmente posto nell'origine ha un accelerazione a = 3 m/s² lungo l'asse y ed una velocità iniziale v = 5 m/s lungo l'asse x. Si determini:

1. la traiettoria del punto;
2. il modulo e la direzione dei vettori posizione e velocità del punto materiale al tempo t = 2 s;
3. la componente centripeta dell'accelerazione e il raggio del centro osculatore all'istante t = 2 s.

Ecco la mia risposta:

Le equazioni del moto del punto sono:
     x = (5 m/s)·t
     y = ½(3 m/s²)·t²
     v_x = 5 m/s
     v_y = (3 m/s²)·t.

L'equazione della traiettoria si ottiene ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda:
     y = (3/50 m)·x²
che è l'equazione di una parabola con vertice nell'origine.

All'istante t = 2 s il vettore posizione è r = [10 m; 6 m] mentre il vettore velocità è v = [5 m/s; 6 m/s]. Il modulo è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti, mentre la direzione è data dall'arcotangente del rapporto fra le componenti, come noto. In particolare la direzione della velocità è circa 50°.

La componente centripeta o radiale dell'accelerazione a tale istante si ottiene proiettando il vettore accelerazione a = [0; 3 m/s²] sulla direzione perpendicolare alla velocità o alla tangente alla traiettoria. Tale direzione corrisponde a 50° + 90° = 140°, e l'angolo fra questa direzione e quella dell'accelerazione (pari a 90°) è 50°. La componente cercata è a_c = a·cos(50°) = 1,93 m/s². Dalla relazione a_c = v²/ρ si può ricavare il raggio di curvatura ρ, che è anche il raggio del cerchio osculatore.