Francesco propone un problema:

Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente allo stato A con temperatura T_A = 243 K e pressione p_A = 2 atm, esegue un ciclo reversibile costituito dalle seguenti trasformazioni:

1. espansione isobara AB
2. espansione adiabatica BC fino allo stato C con p_C =1 atm e T_C = T_A
3. espansione isotermica CA fino a ritornare allo stato A.

Calcolare:

1. i parametri p,T,V di ogni stato e disegnare il ciclo in un piano ( pV)
2. il calore scambiato in ogni trasformazione.

Ecco la mia risposta:

Dello stato A conosciamo n = 1 mol, T_A e p_A = 202,6 kPa. Grazie all'equazione di stato pV = nRT possiamo ricavare V_A = 9,97·10^–3 m³.

Dello stato C conosciamo n = 1 mol, T_C = 243 K, p_C = 101,3 kPa. Quindi V_C = 1,99·10^–2 m³.

Lo stato B è legato allo stato C da una adiabatica reversibile, la cui equazione è p_BV_B^γ = p_CV_C^γ. Possiamo così ricavare V_B = ^γ√(p_C/p_B)·V_C = 1,32·10^–2 m³, dove si è usato il valore γ = 5/3 valido per un gas monoatomico. Dall'equazione di stato si può ottenere allora T_B = 320 K.

Il diagramma della trasformazione è costituito da un tratto di retta parallelo all'asse delle pressioni (l'isobara AB), un tratto di iperbole trascendente (l'adiabatica BC) e un tratto di iperbole (l'isoterma CA). Il disegno è riprodotto qui a fianco.

Per calcolare il lavoro scambiato durante l'isobara usiamo il fatto che il calore specifico molare a pressione costante di un gas perfetto monoatomico vale (5/2)R = 20,8 J·K^–1·mol^–1. Data la variazione di temperatura già calcolata, otteniamo Q_AB = 1,6 kJ.

Sull'adiabatica il calore scambiato è per definizione nullo.

Sull'isoterma il calore scambiato è uguale al lavoro compiuto. Il lavoro può essere calcolato come l'integrale:
     W_CA = ∫pdV = ∫(nRT/V)dV = nRT·∫dV/V =
               = nRT·ln(V_A/V_C) = –1,4 kJ.