Ricevo da Marco la seguente domanda:
Sono Marco, 5° liceo scientifico. Stiamo ripassando in vista degli esami la discussione delle equazioni parametriche. L’esercizio è:
Discutere al variare di k l’equazione:
x3 – kx2 + 2kx – k = 0
con i limiti -2 < x < 5.
Discutere anche con il metodo grafico.
Grazie per l’aiuto.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
un possibile approccio al problema consiste nel vedere l’equazione assegnata come risolvente un sistema di due equazioni nelle incognite (x,y) che esprimano l’una una curva “fissa”, l’altra una famiglia di rette variabile con k.
Nel nostro caso, premessa l’osservazione che x = 1 non è una soluzione dell’equazione, possiamo considerare il seguente sistema come equivalente alla nostra equazione:
y = x3/(x-1)2
y = k
-2 < x < 5
Si tratta di studiare e rappresentare la funzione y = x3/(x-1)2 nel tratto -2 < x < 5 e considerarne le intersezioni con una famiglia di rette parallela all’asse x.
La funzione in esame presenta le seguenti caratteristiche peculiari, che si possono determinare con gli strumenti usuali dell’analisi infinitesimale (limiti, studio della funzione derivata,…), tenendo conto che la funzione derivata y = [x2(x-3)]/(x-1)3 si annulla in x=0 e in x=3:
- un asintoto verticale in x = 1, tendendo a + infinito sia da sinistra che da destra
- un asintoto obliquo, la retta y = x + 2
- un flesso orizzontale in (0,0)
- un minimo locale nel punto (3, 27/4)
- vale -8/9 in -2 e 125/16 in 3
- è monotona crescente tra -2 e 1 e tra 3 e 5, decrescente tra 1 e 3
Queste caratteristiche portano facilmente alle seguenti conclusioni:l’equazione ammette soluzioni nell’intervallo -2 < x < 3 se -8/9 < k < 125/16, in particolare:
- 1 soluzione per -8/9 < k < 27/4 (per k = 0 la soluzione è tripla, per k diverso da 0 è semplice)
- 2 soluzioni per k = 27/4 (una semplice e una doppia)
- 3 soluzioni per 27/4 < k < 125/16
Massimo Bergamini