Ricevo da Jed la seguente domanda:
Salve: devo calcolare l’area tra la curva f(x)=cosx e l’asse delle x, nell’intervallo [0,2π]. Ma se faccio un integrale semplice il risultato è zero.
Dove sbaglio?
Gli rispondo così:
Caro Jed,
non sbagli! Il fatto è che l’integrale definito tiene conto del segno della funzione integranda e ti restituisce il valore dell’area con un segno: positivo, se la curva sta al di sopra dell’asse x, negativo nel caso opposto. La funzione cos(x) nell’intervallo [0,2π], per evidenti ragioni di simmetria, presenta un’area del sottografico per metà positiva e per metà negativa, quindi a somma nulla.
Se si vuole considerare l’area del sottografico in senso assoluto, si deve avere l’accortezza di suddividere l’intervallo in sotto-intervalli in cui la funzione abbia un segno definito, integrare in tali sotto-intervalli separatamente, quindi considerare i risultati ottenuti in valore assoluto e sommarli. Nel tuo esempio, procedendo in questo modo si otterrebbe complessivamente un’area pari a 4.
Massimo Bergamini