Ricevo da Loris la seguente domanda:
Salve prof.
Devo calcolare la seguente derivata. Data la funzione implicita
y(x) : x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6 = 0
devo calcolare y"(x) nel punto (1,1).
Come procedo?
Grazie mille!
Gli rispondo così:
Caro Loris,
mi sembra che la questione si presti ad esempio di applicazione del Teorema di Dini sulla derivazione delle funzioni definite implicitamente. Ricordiamo che se F(x,y) = 0 definisce implicitamente y = f(x) in un intorno di (x0,y0), si può dire che, sotto le opportune condizioni di regolarità:
f’(x) = – Fx(x,f(x))/Fy(x,f(x))
dove Fx e Fy indicano le derivate parziali della funzione F(x,y). Derivando ulteriormente f’(x) rispetto a x, si ottiene:
f’’(x) = – [(Fxx + Fxyf’)Fy-Fx(Fyx + Fyyf’)]/F2y
dove le derivate parziali di F si intendono calcolate in (x,f(x)) e la derivata f’ in x: sostituendo quest’ultima con l’espressione precedente si ha infine:
f’’(x) = – [F2y Fxx – 2FxFyFxy + F2x Fyy] /F3y
Veniamo al nostro caso, in cui F(x,y) = x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6. Calcoliamo la varie derivate parziali prime e seconde:
Fx = 2x + 5y – 2 Fy = 5x + 2y + 1 Fxx = 2 Fyy = 2 Fxy = 5 Fyx = 5
Valutiamole nel punto (1,1):
Fx(1,1) = 5 Fy(1,1) = 8 Fxx(1,1) = 2 Fyy(1,1) = 2 Fxy(1,1) = 5 Fyx(1,1) = 5
Pertanto, sostituendo, si ottiene: f’’(1) = – [64*2– 2*5*8*5+ 25*2] /512 =-111/256.
Massimo Bergamini