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Una funzione implicita da derivare

Una funzione implicita da derivare

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 13 Marzo 2009

 

Ricevo da Loris la seguente domanda:
 
Salve prof.
Devo calcolare la seguente derivata. Data la funzione implicita
 
y(x) : x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6 = 0
devo calcolare y"(x) nel punto (1,1).
Come procedo?
Grazie mille!
 
Gli rispondo così:
 
Caro Loris,
mi sembra che la questione si presti ad esempio di applicazione del Teorema di Dini sulla derivazione delle funzioni definite implicitamente. Ricordiamo che se F(x,y) = 0 definisce implicitamente y = f(x) in un intorno di (x0,y0), si può dire che, sotto le opportune condizioni di regolarità:
 
f’(x) = – Fx(x,f(x))/Fy(x,f(x))
 
dove Fx e Fy indicano le derivate parziali della funzione F(x,y). Derivando ulteriormente f’(x) rispetto a x, si ottiene:
 
f’’(x) = – [(Fxx + Fxyf’)Fy-Fx(Fyx + Fyyf’)]/F2y
 
dove le derivate parziali di F si intendono calcolate in (x,f(x)) e la derivata f’ in x: sostituendo quest’ultima con l’espressione precedente si ha infine:
 
f’’(x) = – [F2y Fxx – 2FxFyFxy + F2x Fyy] /F3y
 
Veniamo al nostro caso, in cui F(x,y) = x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6. Calcoliamo la varie derivate parziali prime e seconde:
 
Fx = 2x + 5y – 2              Fy = 5x + 2y + 1              Fxx = 2               Fyy = 2              Fxy = 5              Fyx = 5
 
Valutiamole nel punto (1,1):
 
Fx(1,1) = 5              Fy(1,1) = 8              Fxx(1,1) = 2               Fyy(1,1) = 2              Fxy(1,1) = 5            Fyx(1,1) = 5
 
Pertanto, sostituendo, si ottiene: f’’(1) = – [64*2– 2*5*8*5+ 25*2] /512 =-111/256.
 
Massimo Bergamini
Tag: derivate parziali, funzioni a più variabili, teorema di Dini


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