Ricevo da Giulia la seguente domanda:
Gentile insegnante,
come posso determinare l’equazione di una parabola se sappiamo che è tangente in un punto a una certa retta?
ad esempio:
ad esempio:
determinare l’equazione della parabola avente per asse la retta x = 2 e tangente nel punto (4;0) alla retta
4x – y – 16 = 0
come risolverlo?
la ringrazio
Le rispondo così:
Cara Giulia,
in generale per ricavare l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate sono necessarie tre condizioni indipendenti che consentano di determinare i valori dei coefficienti a, b e c nell’equazione y = ax2 + bx + c . Nel tuo esempio le condizioni sono: il valore dell’ascissa x = 2 dell’asse di simmetria, il passaggio per il punto di tangenza (4;0), la tangenza alla retta 4x – y – 16 = 0 nel punto (4;0). Le prime due condizioni si traducono nelle seguenti equazioni per i coefficienti a, b e c:
-b/(2a) = 2 → b = – 4a
16a + 4b + c = 0 → 16a – 16 a + c = 0 → c = 0
La condizione di tangenza implica che il discriminante dell’equazione risolvente il sistema retta-parabola abbia valore nullo, pertanto:
ax2 + bx + c = 4x – 16 → ax2 + (b-4)x + c + 16 = 0 → b2 + 16 – 8b – 4ac – 64a = 0
Poiché b = – 4a e c = 0 si ha: a2 – 2a + 1 = 0, cioè: a = 1, b = -4, c = 0. La parabola cercata ha quindi equazione:
y = x2 – 4x.
Massimo Bergamini
