Ricevo da Gabriele la seguente domanda:
Data la funzione
y = x2/3 – x3
non riesco a trovarmi col risultato, in quanto il punto x=0 (punto di non derivabilità) è dato essere dal risultato un punto di cuspide, invece se faccio il limite, sia da destra che da sinistra, della derivata prima, questi viene ZERO, quindi un valore finito; per cui sarebbe un punto di prolungamento per continuità della funzione derivata prima, mentre il testo come risultato porta una CUSPIDE (per la quale sia il limite destro che sinistro dovrebbe valere + e – infinito). Come mai? Grazie!
Gli rispondo così:
La funzione y = x2/3 – x3 , definita e continua in tutto l’asse reale, ammette derivata in tutto il dominio eccetto che nel punto x = 0, dove effettivamente ammette un punto cuspidale, con semitangente destra a pendenza + infinito, e semitangente sinistra a pendenza – infinito. La derivata prima si presenta infatti come la funzione
y’ = 2/(3x1/3 ) – 3x2
che, per x → 0+, tende a + infinito, mentre tende a – infinito per x → 0-.
Massimo Bergamini