Ricevo da Matteo la seguente domanda:
Salve,
io credo di portare all’esame il concetto di "verità" nelle varie materie, negli ultimi secoli…esprimendo alla fine una mia idea di verità..ha qualche idea su cosa possa inserire di matematica???
Grazie
Gli rispondo così:
Caro Matteo,
il compito che ti sei dato è certamente tanto interessante quanto difficile, vasto e, forse, un po’ ambizioso per i limiti di una tesina di esame di Stato, ma certamente la matematica non può essere assente da una discussione sulla “verità”. Questo spazio, e la modestia delle mie conoscenze, non mi consentono certo di dilungarmi in proposito; mi limito quindi a offrirti due spunti, entrambi riguardanti il rapporto tra verità e dimostrazione in matematica: il primo è “antico”, e sta all’origine della matematica nel senso in cui ancora la intendiamo: gli “Elementi” di Euclide come canone di ciò che da allora si è inteso per verità matematica: un sistema formale ipotetico-deduttivo e di regole di deduzione in cui, da alcune fondamentali verità assiomatiche se ne ricavano altre (teoremi). Il secondo è “moderno”, e rappresenta in qualche modo il punto di crisi di questa visione ottimistica della coerenza e della completezza dell’edificio matematico: mi riferisco ai teoremi di incompletezza di Gödel, coi quali si pone una distinzione tra verità e dimostrabilità in senso limitativo (non tutte le verità di un sistema assiomatico abbastanza “ricco” da contenere una assiomatizzazione dell’aritmetica sono dimostrabili all’interno del sistema) e alla critica del concetto di verità in studiosi di logica come A.Church e A.Tarski.
Il tema è veramente affascinante e complesso, e posso solo concludere con l’indicazione di quale riferimento web: naturalmente le pagine di Wikipedia sul concetto di verità:
e più specificamente sui Teoremi di Gödel:
e poi una paginetta su Gödel, Church e Tarski ricca di link:
Sempre di A.Tarski, ti segnalo, se riesci a recuperarlo, l’articolo "Verità e dimostrazione", sul n.50 della rivista Le Scienze del 1972, edizione italiana di Scientific American, presente anche in una bella raccolta, con lo stesso titolo, nella collana Letture da Le Scienze del 1978. Infine, se vuoi cimentarti nella lettura di un libro affascinante quanto “illeggibile” fino in fondo ti segnalo, di Douglas Hofstadter, “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante “, cui Wikipedia dedica una intera voce:
Buon lavoro!
Massimo Bergamini