Ho ricevuto da Annamaria la seguente domanda:
Salve prof.,sono Annamaria e frequento la V liceo scientifico e ho dei dubbi sul grado di una funzione.
Premesso che il grado di un polinomio è dato dal termine di grado più alto, come faccio a determinare il grado di una funzione razionale fratta? E di una irrazionale? E ancora peggio di una funzione trascendente? Qual è il grado di questa funzione? y=x^2 +sen x +1?
Premesso che il grado di un polinomio è dato dal termine di grado più alto, come faccio a determinare il grado di una funzione razionale fratta? E di una irrazionale? E ancora peggio di una funzione trascendente? Qual è il grado di questa funzione? y=x^2 +sen x +1?
Non ci sto capendo niente…. aiuto!
Grazie in anticipo per la sua risposta.
Le rispondo così:
Cara Annamaria,
la risposta può essere molto breve: non ha senso parlare di “grado” al di fuori dell’insieme delle cosiddette funzioni razionali intere, cioè dei polinomi! Forse la tua confusione nasce nell’ambito dello studio della gerarchia di infinitesimi e infiniti, laddove, fissato un “campione”, si definisce l’ordine n (non il grado!) di un infinitesimo o di un infinito relativamente a tale campione, dove n è un numero reale positivo non necessariamente intero. Ad esempio, se si considera f(x) = x come infinito campione nel limite per x tendente a + infinito, si può dire che g(x) = (x4 + 1)/(x2 – 2) è di ordine 2 rispetto a x perché g(x)/xn tende ad un limite finito non nullo se e solo se n = 2: in senso “asintotico”, per x tendente ad infinito, la funzione g(x) “si comporta come” un polinomio di grado 2. Allo stesso modo, sempre per x tendente a + infinito, si può dire che radice quadrata di x sia di ordine 1/2 rispetto allo stesso campione. Non si potrebbe invece attribuire nessun ordine n finito all’infinito esponenziale ex rispetto al campione x, essendo ex comunque d’ordine superiore rispetto a xn, per quanto grande sia l’esponente n. Analoga classificazione si può definire per gli infinitesimi: preso f(x) come campione di infinitesimo per x tendente a 0, un ben noto limite notevole consente di affermare che sen(x) è di ordine 1 rispetto a x, poiché il limite per x tendente a 0 di sen(x)/x vale 1; non per questo, tuttavia, si può attribuire a sen(x), o a qualunque altra funzione non razionale intera, un “grado”. Alla funzione y = x2 + sen x + 1 non è quindi attribuibile alcun grado: la sola cosa che si può dire è che, essendo uguale a 1 il limite per x tendente a infinito di (x2 + sen x + 1)/x2, la funzione è un infinito di ordine 2 rispetto al campione x.
Massimo Bergamini