Ho ricevuto da Giuseppe la seguente domanda:
Salve professore. Potrebbe aiutarmi a verificare questo limite? Ho dei dubbi riguardo dei passaggi che ho seguito per verificarlo:
limite della funzione 5^(x2 – 1) che tende a 1 quando x tende a -1.
Gli rispondo così:
Caro Giuseppe,
si tratta dunque di verificare che, posto p > 0 piccolo a piacere, nell’insieme soluzione della disequazione
|5^(x2 – 1) – 1| < p
si può individuare un opportuno intorno di -1. La disequazione equivale alla seguente:
1 - p < 5^(x2 – 1) < 1 + p => 1 + log5(1 – p) < x2 < 1 + log5(1 + p)
Poniamo log5(1 + p) = k1 e -log5(1 – p) = log5(1/(1 – p)) = k2 : osserva che k1 e k2 sono entrambi positivi per ogni p > 0 opportunamente piccolo. L’insieme soluzione della disequazione è quindi l’intersezione degli insiemi seguenti:
{-Rad(1 + k1) < x < Rad(1 + k1)} et {x < -Rad(1 – k2) vel x > Rad(1 – k2)}
cioè:
-Rad(1 + k1) < x < -Rad(1 – k2) vel Rad(1 – k2) < x < Rad(1 + k1)
L’intorno di -1 che verifica il limite è dunque -Rad(1 + k1) < x < -Rad(1 – k2), che possiamo scrivere così:
-1 – d1 < x < -1 + d2
dove d1 = Rad(1 + k1) – 1 e d2 = 1 – Rad(1 – k2).
Poiché inoltre si può dimostrare che d2 > d1 per ogni p > 0, si può individuare un intorno simmetrico di -1 di semiampiezza d(p) = Rad(1 + log5(1 + p)) – 1 che soddisfa sicuramente la disequazione iniziale e quindi verifica la correttezza del limite proposto.
Massimo Bergamini