Ho ricevuto da Antonio la seguente domanda:
Salve professore!
Vorrei chiederle se gentilmente potesse spiegarmi come si studia il carattere di una serie. Premetto di aver capito la teoria e in particolare tre criteri per determinare il carattere di una serie, ovvero: 1) criterio del confronto asintotico 2) criterio della radice 3) criterio del rapporto. Il problema è passare dalla teoria alla pratica.
Per esempio come faccio a capire se : sommatoria da n=1 a infinito di [1/(n² + n)] è convergente? E in generale per quali casi consiglia usare un metodo rispetto ad un altro? La ringrazio per l’attenzione a me rivolta.
Distinti saluti
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
non esiste purtroppo un “metodo” generalmente valido per decidere del carattere di una serie: solo l’intuizione che si sviluppa con l’applicazione pratica a numerosi esempi specifici suggerisce modi efficaci di utilizzare i criteri che hai ricordato, i quali consentono in molti casi di determinare il carattere di una serie (a termini positivi) utilizzando in modo più o meno esplicito il confronto con serie di cui si conosca il comportamento, in particolare la serie geometrica di termine kn; in effetti, anche i criteri della radice e del rapporto si dimostrano sulla base di un confronto, diretto o asintotico, con la serie geometrica.
Non è comunque facile stabilire a priori quale sia il criterio più opportuno da utilizzare nei vari casi, anche se, ad esempio, la presenza di un termine generale contenente una forma esponenziale tipo an suggerisce che il criterio della radice possa essere utile. Nel tuo esempio, invece, risulta evidente l’applicabilità immediata del primo criterio del confronto che dice, in particolare, quanto segue:
“date due serie a termini positivi Sum(an) e Sum(bn), tali che an < bn, se Sum(bn) converge allora anche Sum(an) converge”.
Poiché sappiamo che la cosiddetta serie di Eulero Sum(1/n2) converge (a Pi2/6, come si può dimostrare), ed evidentemente 1/n2 > 1/(n2+n) per ogni n > 1, allora
Sum(1/(n2+n)) chiaramente converge.
Massimo Bergamini