MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Funzioni a due variabili

Funzioni a due variabili

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 14 Febbraio 2010

Ricevo da Igino la seguente domanda:

Visto che a breve dovrò sostenere l’esame di analisi 2, ho ancora diversi dubbi, che vorrei chiarire, e soprattutto comprendere senza studiare a memoria il procedimento.
Mi sono capitati diversi esercizi che non ho saputo risolvere.
In uno di questi esercizi viene richiesto di determinare, se esiste, una retta tangente al grafico della curva di livello 1 della funzione che formi un angolo di \( \frac{\pi}{6} \) con l’asse x. La funzione è \( f(x,y)=x^2-2y^2 \).
In un altro esercizio invece viene richiesto di stabilire per quali \( k \in \Re \) la funzione
$$ f(x,y)= \frac{x-\sin y}{x^2-y^2} $$
è prolungabile per continuità in \( (k,k) \).
La ringrazio anticipatamente
 
Gli rispondo così:
 
Caro Igino,
per quanto riguarda la tangente alla curva di livello 1 della funzione \( f(x,y)=x^2-2y^2 \) la risposta è che non esiste. Infatti, l’equazione di tale curva è l’equazione di un’iperbole canonica nel piano \( xy \) di asintoti le rette \( y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x \):
 
$$ x^2-2y^2=1 $$
 
Tale curva non può ammettere una retta tangente avente pendenza compresa tra le pendenze dei suoi asintoti, cioè il suo coefficiente angolare non può essere compreso tra \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( +\frac{\sqrt{2}}{2} \): ma il coefficiente richiesto è appunto tale: \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{2}}{2} \). La cosa può essere dimostrata analiticamente derivando l’espressione esplicita della semi-iperbole contenuta nel semipiano \( y>0 \):
 
$$ y=\sqrt{\frac{x^2-1}{2}} \Rightarrow y^\prime = \frac{x}{\sqrt{2x^2-2}} $$
 
L’equazione
$$ \frac{x}{\sqrt{2x^2-2}}= \frac{\sqrt{3}}{3} $$
 
risulta impossibile.
Riguardo alla prolungabilità per continuità della funzione \( f(x,y)= \frac{x-\sin y}{x^2-y^2} \) nei punti \( (k,k) \), cioè nei punti della retta \( y=x \), si vede che questo non è possibile per \( k \neq 0 \) in quanto il numeratore \( k-\sin k \) è diverso da 0 \( \forall k \neq 0 \), mentre il denominatore tende a 0 per \( x \) e \( y \) che tendono entrambi a \( k \): la funzione tende a \( \infty \), pertanto non è possibile eliminare la discontinuità in tali punti. Anche in \( (0,0) \) la funzione non è prolungabile per continuità poiché non tende a un limite finito: ad esempio, lungo una qualsiasi retta \( y=mx \), con \( m \neq 0 \), il limite è \( \infty \), come si osserva applicando la regola di de l’Hopital:
 
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin (mx)}{x^2(1-m^2)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-m\cos (mx)}{2x(1-m^2)}=\infty .$$
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, curve di livello, funzioni a più variabili


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl