Ricevo da Igino la seguente domanda:
Visto che a breve dovrò sostenere l’esame di analisi 2, ho ancora diversi dubbi, che vorrei chiarire, e soprattutto comprendere senza studiare a memoria il procedimento.
Mi sono capitati diversi esercizi che non ho saputo risolvere.
In uno di questi esercizi viene richiesto di determinare, se esiste, una retta tangente al grafico della curva di livello 1 della funzione che formi un angolo di \( \frac{\pi}{6} \) con l’asse x. La funzione è \( f(x,y)=x^2-2y^2 \).
In un altro esercizio invece viene richiesto di stabilire per quali \( k \in \Re \) la funzione
$$ f(x,y)= \frac{x-\sin y}{x^2-y^2} $$
è prolungabile per continuità in \( (k,k) \).
La ringrazio anticipatamente
Gli rispondo così:
Caro Igino,
per quanto riguarda la tangente alla curva di livello 1 della funzione \( f(x,y)=x^2-2y^2 \) la risposta è che non esiste. Infatti, l’equazione di tale curva è l’equazione di un’iperbole canonica nel piano \( xy \) di asintoti le rette \( y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x \):
$$ x^2-2y^2=1 $$
Tale curva non può ammettere una retta tangente avente pendenza compresa tra le pendenze dei suoi asintoti, cioè il suo coefficiente angolare non può essere compreso tra \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( +\frac{\sqrt{2}}{2} \): ma il coefficiente richiesto è appunto tale: \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{2}}{2} \). La cosa può essere dimostrata analiticamente derivando l’espressione esplicita della semi-iperbole contenuta nel semipiano \( y>0 \):
$$ y=\sqrt{\frac{x^2-1}{2}} \Rightarrow y^\prime = \frac{x}{\sqrt{2x^2-2}} $$
L’equazione
$$ \frac{x}{\sqrt{2x^2-2}}= \frac{\sqrt{3}}{3} $$
risulta impossibile.
Riguardo alla prolungabilità per continuità della funzione \( f(x,y)= \frac{x-\sin y}{x^2-y^2} \) nei punti \( (k,k) \), cioè nei punti della retta \( y=x \), si vede che questo non è possibile per \( k \neq 0 \) in quanto il numeratore \( k-\sin k \) è diverso da 0 \( \forall k \neq 0 \), mentre il denominatore tende a 0 per \( x \) e \( y \) che tendono entrambi a \( k \): la funzione tende a \( \infty \), pertanto non è possibile eliminare la discontinuità in tali punti. Anche in \( (0,0) \) la funzione non è prolungabile per continuità poiché non tende a un limite finito: ad esempio, lungo una qualsiasi retta \( y=mx \), con \( m \neq 0 \), il limite è \( \infty \), come si osserva applicando la regola di de l’Hopital:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin (mx)}{x^2(1-m^2)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-m\cos (mx)}{2x(1-m^2)}=\infty .$$
Massimo Bergamini