Ricevo da Graziella le seguenti domande:
Data la funzione
$$ f(x)=(x-1)\log (x-1) $$
come arrivo alla soluzione che \( f(x) \) è dotata di minimo assoluto \( m=-\frac{1}{e} \) ?
Qual è il punto di massimo assoluto della funzione
$$ f(x,y)=(x-2)^2+6y-1 $$
sotto il vincolo equazionale \( (x-2)^2+(y+3)^2=1 \)?
Le rispondo così:
Cara Graziella,
la funzione \( f(x)=(x-1)\log (x-1) \) è definita, continua e derivabile per \( x> 1 \) e tende a \( +\infty \) per \( x \rightarrow +\infty \), a 0 per \( x \rightarrow 1^+ \). La sua derivata:
$$ f(x)^\prime = \log (x-1) + 1 $$
si annulla solo per \( x=1+e^{-1} \), e qui presenta un minimo relativo e assoluto \( f(1+e^{-1})=-\frac{1}{e} \), come si può verificare anche analizzando il segno della derivata intorno al punto.
La funzione di due variabili \( f(x,y)=(x-2)^2+6y-1 \), ristretta al vincolo \( (x-2)^2+(y+3)^2=1 \Rightarrow (x-2)^2=1-(y+3)^2 \), diventa
$$ f^*(y)=-y^2-9\;, \;\;\; -4 \leq y \leq -2 $$
Nell’intervallo chiuso e limitato in cui è definita, \( f^*(y) \) non presenta punti a derivata nulla, cioè punti stazionari, ma facilmente si deduce che la funzione ha un max assoluto per \( y=-2 \), corrispondente al punto \( A(2,-2) \), dove vale -13 (l’esistenza di un max e di un min assoluti era garantita dal teorema di Weierstrass, essendo la funzione definita continua in tutti i punti di un intervallo chiuso e limitato).
La situazione può essere visualizzata rappresentando le curve di livello di \( f(x,y) \) tangenti al vincolo.
Massimo Bergamini
