Ricevo da Natalia le seguenti domande:
1) Quanto vale
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\log(3x^2+2x)}{\log x-1}\;? $$
2) Quanto vale
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{2x-3)}{2x+1}\right)^{2x} \;? $$
Le rispondo così:
Cara Natalia,
il primo limite si può risolvere fattorizzando l’argomento del logaritmo al numeratore e raccogliendo \( \log x \) sia a numeratore che a denominatore:
$$ \frac{\log(3x^2+2x)}{\log x-1}=\frac{2\log x+\log (3+2/x)}{\log x-1}=\frac{2+\frac{\log (3+2/x)}{\log x}}{1-1/\log x} $$
Chiaramente i termini aventi \( \log x \) a denominatore sono infinitesimi e pertanto
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\log(3x^2+2x)}{\log x-1} =2. $$
Il secondo limite si può ricondurre alla forma \( (1+1/t)^t \) per \( t \rightarrow +\infty \) con la sostituzione:
$$ \frac{2x-3}{2x+1}=1+\frac{1}{t} \Rightarrow x=\frac{-4t-1}{2} $$
che comporta
$$ \left(\frac{2x-3}{2x+1}\right)^{2x} =\frac{\left[(1+1/t)^t)\right]^{-4}}{(1+1/t)} \rightarrow e^{-4}. $$
Massimo Bergamini