Ricevo da Graziella la seguente domanda:
Quanto vale la derivata direzionale della funzione
$$ f(x,y)=\log\left(1+e^{xy^2}\right) $$
nel punto \( A(0,2) \) rispetto al vettore \( \vec{u}=(1/2, \sqrt{3}/2) \)?
Le rispondo così:
Cara Graziella,
premesso che la derivata direzionale in un punto assegnato si può calcolare come il prodotto scalare tra il gradiente della funzione nel punto e il versore della direzione in questione, ricaviamo dalle derivate parziali il gradiente nel punto \( A \):
$$ \partial_x f(x,y)= \frac{y^2 e^{xy^2}}{1+e^{xy^2}},\;\;\;\partial_y f(x,y)= \frac{2xy e^{xy^2}}{1+e^{xy^2}} $$
Pertanto, sostituendo nelle derivate parziali le coordinate di \( A(0,2) \) si ottiene il gradiente:
$$ \vec{\nabla}_A=(2,0) $$
e la derivata direzionale:
$$ D_A=\vec{\nabla}_A \cdot \vec{u}=(2,0)\cdot (1/2, \sqrt{3}/2) = 1. $$
Massimo Bergamini