Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Egregio professore,
non riesco a rispondere a questo quesito di una simulazione di prova d’esame; si chiede di calcolare, se esiste il valore dell’integrale
$$ \int_{-1}^1 \frac{2x-1}{x^2}\, dx .$$
Riesco a calcolare l’integrale indefinito, in cui compare \( 1/x + 2\ln|x| \), ma esiste \( F(1) – F(-1) \)?
Ringrazio per l’attenzione,
Francesca.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
poiché l’intervallo di integrazione comprende \( x=0 \), valore in cui la funzione non è definita e presenta un asintoto verticale (tende a \( -\infty \) per \( x \rightarrow 0 \)), l’integrale va inteso in senso generalizzato, cioè, se esiste, come somma dei seguenti limiti:
$$ \lim_{k \rightarrow 0^-}\int_{-1}^k \frac{2x-1}{x^2}\, dx +\lim_{h \rightarrow 0^+}\int_{h}^1 \frac{2x-1}{x^2}\, dx.$$
Pertanto dobbiamo valutare se esiste, finita, la somma:
$$ \lim_{k \rightarrow 0^-}\left(2\log |k|+\frac{1}{k} \right) +\lim_{h \rightarrow 0^+}\left(-2\log |h|-\frac{1}{h} \right) $$
Poiché entrambi i limiti sono infiniti, possiamo dire che l’integrale in senso generalizzato non esiste e che l’area sottesa dal grafico nell’intervallo in questione, oltre che illimitata, è anche di estensione infinita (in generale, “illimitata” non implica “infinita”!).
Massimo Bergamini