Ricevo da Rosalba la seguente domanda:
Prof.,
come si calcolano i massimi e minimi assoluti della funzione
$$ y=x+\frac{2}{x} $$
in \( [1;4] \).
Le rispondo così:
Cara Rosalba,
la funzione è definita e continua, oltre che derivabile, nell’intervallo \( [1;4] \): analizziamo la derivata per stabilire crescenza e decrescenza ed eventuali max/min relativi nei punti interni all’intervallo, quindi confrontiamo questi con i valori agli estremi per stabilire massimi e minimi in senso assoluto (la loro esistenza in un intervallo chiuso e limitato è garantita, per una funzione continua, dal teorema di Weierstrass). La derivata
$$ y^{\prime}=1-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-2}{x^2} $$
si annulla in \( x= \sqrt{2} \) nell’intervallo \( [1;4] \), ed è prima negativa (funzione decrescente) e poi positiva (funzione crescente): la funzione presenta qui un minimo relativo che quindi è anche assoluto: \( y(\sqrt{2})=1+\sqrt{2} \).
I valori della funzione negli estremi dell’intervallo
$$ y(1)=3,\;\;\; y(4)=9/2 $$
ci dicono che il massimo assoluto \( y=9/2 \) si presenta in \( x=4 \).
Massimo Bergamini