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Un problema di max e min

Un problema di max e min

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 23 Febbraio 2010

Ricevo da Rosalba la seguente domanda:

Prof.,
come si calcolano i massimi e minimi assoluti della funzione
$$ y=x+\frac{2}{x} $$
in \( [1;4] \).
 
Le rispondo così:
 
Cara Rosalba,
la funzione è definita e continua, oltre che derivabile, nell’intervallo \( [1;4] \): analizziamo la derivata per stabilire crescenza e decrescenza ed eventuali max/min relativi nei punti interni all’intervallo, quindi confrontiamo questi con i valori agli estremi per stabilire massimi e minimi in senso assoluto (la loro esistenza in un intervallo chiuso e limitato è garantita, per una funzione continua, dal teorema di Weierstrass). La derivata
$$ y^{\prime}=1-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-2}{x^2} $$
si annulla in \( x= \sqrt{2} \) nell’intervallo \( [1;4] \), ed è prima negativa (funzione decrescente) e poi positiva (funzione crescente): la funzione presenta qui un minimo relativo che quindi è anche assoluto: \( y(\sqrt{2})=1+\sqrt{2} \).
I valori della funzione negli estremi dell’intervallo
$$ y(1)=3,\;\;\; y(4)=9/2 $$
ci dicono che il massimo assoluto \( y=9/2 \) si presenta in \( x=4 \).
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, derivate, problemi max/min, punti critici


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