Ricevo da Davide la seguente domanda:
Gentile prof. Bergamini,
innanzitutto la ringrazio per la sua attività su questo sito, che trovo molto utile e spesso provo a risolvere alcuni quesiti di altri studenti per testare la mia preparazione per l’esame di matematica. Mi sono però trovato in difficoltà con questo esercizio, in cui si chiede di trovare la retta tangente alla funzione nel punto di flesso. La funzione data è la funzione integrale
$$ \int_1^{x^2} \frac{e^{t/2}}{t}\, dt .$$
Ho sempre svolto esercizi in cui l’estremo variabile era x, non una funzione di x… Mi può aiutare?
Grazie,
Davide
Davide
Gli rispondo così:
Caro Davide,
direi che possiamo vedere la funzione integrale che proponi come una funzione composta, cioè, detto \( k(x)=x^2 \), possiamo indicare la nostra funzione, definita per \( x \neq 0 \) e simmetrica rispetto a \( x=0 \), come
$$ F(x)=F(k(x))= \int_1^{k(x)} \frac{e^{t/2}}{t}\, dt $$
Pertanto, dovendo ricavare la derivata prima della funzione, procediamo come per una funzione composta:
$$ \frac{dF(k(x))}{dx} =\frac{dF(k(x))}{dk} \cdot \frac{dk(x)}{dx } =\frac{dF(k(x))}{dk} \cdot 2x $$
Poiché la derivata della funzione integrale rispetto all’estremo superiore \( k \) coincide con la funzione integranda calcolata in \( k \), essendo questa continua ovunque in \( \Re-{0} \), abbiamo:
$$ \frac{dF(k(x))}{dx} = \frac{e^{x^2/2}}{x^2} \cdot 2x = \frac{2e^{x^2/2}}{x} $$
Per cercare i punti di flesso calcoliamo la derivata seconda di \( F(x) \):
$$ F^{\prime \prime}(x)= \frac{2e^{x^2/2}(x^2-1)}{x^2} .$$
Questa si annulla per \( x=-1 \) e per \( x=1 \): in entrambi i punti, di coordinate \( (-1,0) \) e \( (1,0) \), la funzione presenta un flesso, poiché in un loro intorno il segno della derivata seconda, e quindi la concavità, cambia. La derivata prima vale rispettivamente \( -2\sqrt{e} \) e \( 2\sqrt{e} \), per cui le rette tangenti nei due punti sono:
$$ y=-2\sqrt{e}(x+1),\;\;\; y=2\sqrt{e}(x-1) .$$
Massimo Bergamini