Ricevo da Antonella la seguente domanda:
Salve prof ho urgentemente bisogno del suo aiuto, dovrebbe risolvermi questi esercizi perché domani ho l’interrogazione:
funzione:
$$ y=e^{\frac{x}{x^2+1}} $$
Potrebbe farmi anche il grafico? Grazie.
E poi questi limiti, però non con de l’Hopital:
$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x}-2}{\log(x-\sqrt{2}+1)} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(\log x)}{e^x-e} $$
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} e^{\frac{1}{|x-\frac{\pi}{2}|}} $$
La prego mi risponda al più presto sono nelle sue mani…
Grazie mille e buona serata.
Le rispondo così:
Cara Antonella,
provo volentieri a darti una mano, ma non contare sul fatto che questo aiuto possa essere sempre “in tempo reale”… Altri scrivono, e in genere i tempi medi di risposta, anche per motivi tecnici, possono essere di un paio di giorni.
Comunque, venendo alla funzione
$$ y=e^{\frac{x}{x^2+1}} $$
direi che facilmente si riconosce che il dominio è tutto l’insieme \( \Re \), e che la funzione, in quanto esponenziale, è sempre strettamente positiva: quindi non si hanno intersezioni del grafico con l’asse \( x \), mentre l’asse \( y \) è intersecato in \( (0,1) \). Poiché l’esponente tende a 0 sia a \( +\infty \) che a \( -\infty \), si ha come asintoto orizzontale la retta \( y=1 \). Le derivate prima e seconda:
$$ y^\prime =\frac{(1-x^2)e^{\frac{x}{x^2+1}}}{(x^2+1)^2} $$
$$ y^{\prime \prime} =\frac{(2x^5+x^4-4x^3-2x^2-6x+1)e^{\frac{x}{x^2+1}}}{(x^2+1)^4} $$
ci suggeriscono la presenza di un min e di un max relativi rispettivamente nei punti \( (-1,1/\sqrt{e}) \) e \( (1,\sqrt{e}) \), poiché la derivata prima si annulla in \( x=-1 \) e in \( x=1 \) e ha segno negativo esternamente all’intervallo \( [-1,1] \) e positivo internamente, mentre si desume l’esistenza di tre punti di flesso, corrispondenti ai tre valori di annullamento della derivata seconda, valori calcolabili solo in modo approssimato (con l’aiuto di un software di calcolo): \( x_1 \approx -1.829,\;x_2 \approx 0.156,\;x_3 \approx 1.659 \).
Riguardo ai limiti, non sono sicuro di aver ben interpretato il testo del primo, visto che mi pare un banale limite in un punto di definizione e di continuità della funzione:
$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x}-2}{\log(x-\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}-2}{\log(3-\sqrt{2})} .$$
Per il secondo, invece, si può procedere a successive moltiplicazioni/divisioni per opportuni fattori in modo da ridurlo a prodotto di limiti notevoli:
$$ \frac{\sin(\log x)}{e^x-e}=\frac{\sin(\log x)}{\log x} \cdot \frac{\log x}{e(e^{x-1}-1)}=\frac{1}{e}\cdot \frac{\sin(\log x)}{\log x}\cdot \frac{\log (x-1+1)}{x-1}\cdot \frac{x-1}{e^{x-1}-1} $$
tutte le frazioni che moltiplicano \( \frac{1}{e} \) sono, per \( x \rightarrow 1 \), limiti notevoli che tendono a 1, quindi il limite vale complessivamente \( \frac{1}{e} \).
Il terzo limite facilmente si vede che vale \( +\infty \) poiché l’esponente di \( e \) tende a \( 1/0^+ \rightarrow +\infty \).
Massimo Bergamini