Ricevo da Anna la seguente domanda:
Buongiorno professore,
per cortesia mi potrebbe aiutare a risolvere lo studio di funzione:
$$ y=\frac{x-2}{\log^2 (2-x)} $$
La ringrazio,
Cordiali saluti
Le rispondo così:
Cara Anna,
procediamo con ordine.
- Dominio \( x<2,\;\;x \neq 0 \), poichè l’argomento del logaritmo deve essere positivo e diverso da 1;
- Segno e zeri: la funzione non ha zeri, ed è sempre negativa in tutto il suo dominio(il segno è determinato dal segno del solo numeratore, essendo il denominatore un qua I limiti da esaminare sono i seguenti:
$$ \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x-2}{\log^2 (2-x)}=0 $$
Infatti, il limite è equivalente a
$$ \lim_{t \rightarrow 0^+} -\frac{t}{\log^2 t} $$
che, utilizzando due volte la regola di de L’Hopital, si riconduce a
$$ \lim_{t \rightarrow 0^+} -\frac{t}{2}=0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-2}{\log^2 (2-x)}=-1/0^+=-\infty $$
$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-2}{\log^2 (2-x)}=-\infty $$
come si può dimostrare, anche in questo caso, utilizzando due volte la regola di de l’Hopital.
- Derivata prima, crescenza/decrescenza, max/min relativi:
$$ y^\prime =\frac{\log (2-x)-2}{\log^3 (2-x)} $$
La derivata si annulla per \( x=2-e^2 \), dove presenta un max relativo, essendo la derivata prima positiva (da \( -\infty \) fino a \( x=2-e^2 \)), poi negativa (fino a \( x=1 \)), e di nuovo positiva da \( x=1 \) a \( x=2 \).
- Derivata seconda, concavità, flessi:
$$ y^{\prime \prime} =\frac{2(3-\log (2-x)}{(x-2)\log^4 (2-x)} $$
La derivata seconda si annulla per \( x=2-e^3 \), dove si ha un flesso, ed è positiva prima di tale punto (concavità su) poi sempre negativa (concavità giù).
Massimo Bergamini
