Ricevo da Rosaria la seguente domanda:
Gentile professore,
non riesco a risolvere il seguente problema:
Dato un cerchio di raggio r, determinare in esso un angolo al centro \(A\hat{O}B=x\) in modo che costruito il triangolo equilatero \(ABC\) sulla corda \(AB\) dalla parte opposta del centro \(O\), sia \(kr^2\) l’area del quadrilatero \(OACB\).
La ringrazio in anticipo
Le rispondo così:
Cara Rosaria,
premesso che \(0\leq x \leq \pi\), detta \(H\) la proiezione di \(O\) su \(AB\), si ha facilmente che \(AB=2r\sin \left( {x}/{2}\; \right)\), \(OH=r\cos \left( {x}/{2}\; \right)\) e \(CH=r\sqrt{3}\sin \left( {x}/{2}\; \right)\), per cui:
\[Area\left( AOB \right)=r\sin \left( {x}/{2}\; \right)\cos \left( {x}/{2}\; \right)=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\sin x\]
\[Area\left( ABC \right)={{r}^{2}}\sqrt{3}{{\sin }^{2}}\left( {x}/{2}\; \right)={{r}^{2}}\sqrt{3}\left( \frac{1-\cos x}{2} \right).\]
L’area del quadrilatero \(OACB\) è quindi pari a \(kr^2\) se e solo se
\[\sin x+\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos x=2k.\]
Posto \(\cos x=X\) e \(\sin x=Y\), l’equazione può essere rappresentata dal seguente sistema:
\[\left \{ \begin{array}{ll} Y-\sqrt{3}X-2k+\sqrt{3}=0 \\ -1\le X\le 1 \end{array} \right.\]
che, nel piano \(XY\), esprime le intersezioni della semicirconferenza goniometrica col fascio improprio di rette parallele alla direzione \(m=\sqrt{3}\). Le rette del fascio passanti per gli estremi \((1,0)\) e \((-1,0)\) della semicirconferenza corrispondono ai valori del parametro \(k=0\) e \(k=\sqrt{3}\), come si ricava per semplice sostituzione: per \(0\leq k < \sqrt{3}\) si ha un solo punto di intersezione tra le rette e la semicirconferenza, cioè si ha una sola soluzione dell’equazione. Per ricavare la retta del fascio tangente alla semicirconferenza si può imporre che la distanza retta-centro sia 1:
\[\frac{\left| 2k-\sqrt{3} \right|}{2}=1\Rightarrow k=\frac{\sqrt{3}\pm 2}{2}\Rightarrow k=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\]
(la soluzione negativa non è accettabile, essendo relativa alla tangente alla semicirconferenza inferiore). Concludiamo quindi che per \(\sqrt{3}\le k\le \frac{\sqrt{3}+2}{2}\) si hanno due soluzioni, coincidenti nel caso del valore estremo \(k=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\).
Massimo Bergamini
