MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Integrabilità e primitive

Integrabilità e primitive

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 28 Marzo 2010
Ricevo da Valeria la seguente domanda:
 
Se una funzione è continua è sicuramente integrabile.
Se una funzione non è continua può essere integrabile, ma non ammette primitive.
Mi può spiegare con un esempio semplice come funziona?
Grazie
Valeria
 
Le rispondo così:
 
Cara Valeria,
l’argomento è piuttosto complesso, e mi limito ad enunciare qualche proposizione, col supporto di alcuni esempi.
Una funzione continua in un intervallo \(\left[ a,b \right]\) è sicuramente integrabile e ammette infinite primitive: infatti la funzione integrale  
                                                                \[F(x)=\int\limits_{a}^{x}{f(t)dt}\]
è tale che \(F^\prime (x)=f(x)\text{ }\forall x\in [a,b]\), quindi ogni funzione \(F(x)+cost\) è una primitiva di \(f(x)\).
Una funzione limitata ed integrabile in un intervallo \(\left[ a,b \right]\) ma non continua in qualche punto di \(\left[ a,b \right]\) può ammettere o non ammettere primitive!
Esempio 1:
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin \left( \frac{1}{x} \right)-\cos \left( \frac{1}{x} \right)\text{   }x\ne 0 \\ 0\text{                        }x=0 \end{array} \right.$$
Questa funzione non solo è integrabile su tutto \(R\), benché discontinua in \(x=0\), poiché non esiste il \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)\), ma ammette anche primitiva, essendo la derivata della funzione
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin \left( \frac{1}{x} \right)\text{   }x\ne 0 \\ 0\text{                    }x=0 \end{array} \right..$$
Esempio 2:
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 \text{   }0\leq x<1 \\ 2\text{   }x=1 \end{array} \right.$$
Non esiste per \(f(x)\) una possibile primitiva \(F(x)\): tale funzione dovrebbe essere continua in \(\left[ 0,1 \right]\) e avere derivata nulla in ogni \(x\in \left] 0,1 \right[\), e quindi dovrebbe risultare costante in \(\left[ 0,1 \right]\), e pertanto avere derivata nulla anche in \(x=1\), cioè \(F^\prime (1)=0\): ma si dovrebbe avere anche \(F^\prime (1)=f(1)=2\), il che è assurdo.
Ma c’è di più…
Una funzione può ammettere primitive senza essere integrabile.
Esempio 3:
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin \left( \frac{1}{x^2} \right)- \frac{2}{x} \cos \left( \frac{1}{x} \right)\text{   }x\ne 0 \\ 0\text{                            }x=0 \end{array} \right.$$
Questa funzione, non integrabile in \(\left[ 0,1 \right]\) in quanto non limitata, è la derivata della funzione
$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin \left( \frac{1}{x^2} \right) \text{   }0<x\leq 1 \\ 0\text{                             }x=0 \end{array} \right.$$
Quindi \(F(x)\) è primitiva di \(f(x)\).
Mi spiace, ma non sono riuscito ad immaginare esempi più semplici…!
Massimo Bergamini

 

Tag: analisi infinitesimale, integrali, primitive


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl