Ricevo da Valeria la seguente domanda:
Se una funzione è continua è sicuramente integrabile.
Se una funzione non è continua può essere integrabile, ma non ammette primitive.
Mi può spiegare con un esempio semplice come funziona?
Grazie
Valeria
Le rispondo così:
Cara Valeria,
l’argomento è piuttosto complesso, e mi limito ad enunciare qualche proposizione, col supporto di alcuni esempi.
Una funzione continua in un intervallo \(\left[ a,b \right]\) è sicuramente integrabile e ammette infinite primitive: infatti la funzione integrale
\[F(x)=\int\limits_{a}^{x}{f(t)dt}\]
è tale che \(F^\prime (x)=f(x)\text{ }\forall x\in [a,b]\), quindi ogni funzione \(F(x)+cost\) è una primitiva di \(f(x)\).
Una funzione limitata ed integrabile in un intervallo \(\left[ a,b \right]\) ma non continua in qualche punto di \(\left[ a,b \right]\) può ammettere o non ammettere primitive!
Esempio 1:
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin \left( \frac{1}{x} \right)-\cos \left( \frac{1}{x} \right)\text{ }x\ne 0 \\ 0\text{ }x=0 \end{array} \right.$$
Questa funzione non solo è integrabile su tutto \(R\), benché discontinua in \(x=0\), poiché non esiste il \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)\), ma ammette anche primitiva, essendo la derivata della funzione
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin \left( \frac{1}{x} \right)\text{ }x\ne 0 \\ 0\text{ }x=0 \end{array} \right..$$
Esempio 2:
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 \text{ }0\leq x<1 \\ 2\text{ }x=1 \end{array} \right.$$
Non esiste per \(f(x)\) una possibile primitiva \(F(x)\): tale funzione dovrebbe essere continua in \(\left[ 0,1 \right]\) e avere derivata nulla in ogni \(x\in \left] 0,1 \right[\), e quindi dovrebbe risultare costante in \(\left[ 0,1 \right]\), e pertanto avere derivata nulla anche in \(x=1\), cioè \(F^\prime (1)=0\): ma si dovrebbe avere anche \(F^\prime (1)=f(1)=2\), il che è assurdo.
Ma c’è di più…
Una funzione può ammettere primitive senza essere integrabile.
Esempio 3:
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin \left( \frac{1}{x^2} \right)- \frac{2}{x} \cos \left( \frac{1}{x} \right)\text{ }x\ne 0 \\ 0\text{ }x=0 \end{array} \right.$$
Questa funzione, non integrabile in \(\left[ 0,1 \right]\) in quanto non limitata, è la derivata della funzione
$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin \left( \frac{1}{x^2} \right) \text{ }0<x\leq 1 \\ 0\text{ }x=0 \end{array} \right.$$
Quindi \(F(x)\) è primitiva di \(f(x)\).
Mi spiace, ma non sono riuscito ad immaginare esempi più semplici…!
Massimo Bergamini