Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Professore mi scusi , ho guardato in tutti i libri di geometria per trovare una formula per il calcolo del raggio di una sfera inscritta e circoscritta ad una piramide a base quadrangolare regolare , ma alcuni libri portano l’esempio solo del tetraedro, mi spiega il perche? E se volessi una formula per il tronco di piramide per il calcolo del raggio della sfera in scritta e circoscritta al tronco sempre a base quadrangolare regolare quali sono?
Grazie mille
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
ovviamente non conosco il motivo per cui non vengano riportate nei testi le formule che ti interessano, probabilmente perché non ha senso dare formule di ogni caso specifico, potendole ricavare abbastanza facilmente.
Per il raggio \(r_i\) della sfera inscritta in una piramide quadrangolare regolare retta, di altezza \(h\) e lato di base \(2b\), il problema si riduce a quello di trovare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo isoscele di altezza \(h\) e semibase \(b\):
\[{{r}_{i}}=\frac{bh}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
Per il raggio \(r_c\) della sfera circoscritta, il problema si riduce a quello di trovare il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo isoscele di altezza \(h\) e semibase \(b\sqrt{2}\):
\[{{r}_{c}}=\frac{{{h}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2h}.\]
Per quanto riguarda il tronco di piramide, non mi sembra sensato il problema del raggio della sfera inscritta, poiché in generale non si può avere una sfera tangente sia alle basi che alle false del tronco di piramide. Per quanto riguarda la sfera circoscritta, detti \(2B\) e \(2b\) i lati dellle basi maggiore e minore, e \(h\) l’altezza del tronco di piramide, il problema equivale a quello di trovare la circonferenza circoscritta ad un trapezio isoscele di altezza \(h\) avente semibasi \(B\sqrt{2}\) e \(b\sqrt{2}\):
\[{{r}_{c}}=\frac{\sqrt{8{{h}^{2}}{{B}^{2}}+{{\left( 2{{B}^{2}}-2{{b}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}^{2}}}}{2h}.\]
Massimo Bergamini