Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Gent. prof.
non riusciamo a risolvere questo integrale:
\[\int{\frac{{{\ln }^{2}}\left( 3x \right)}{2x}}dx.\]
Ci potrebbe spiegare i passaggi da fare?!
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
l’integrale in questione si può ricondurre alla forma generale
\[\int{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}f'(x)\,}dx\]
posto che sia \(f\left( x \right)=\ln (3x)\), e quindi \(f^\prime \left( x \right)=\frac{1}{x}\). In tal modo si ha:
\[\int{\frac{{{\ln }^{2}}\left( 3x \right)}{2x}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{{{\ln }^{2}}\left( 3x \right)}{x}}dx=\frac{1}{6}{{\ln }^{3}}(3x)+c.\]
Massimo Bergamini