Ricevo da Valeria la seguente domanda:
Egr. prof.,
trovo ancora difficoltà con i solidi di rotazione.
Come si calcola il volume del solido ottenuto facendo ruotare di un giro completo attorno all’asse \(x\) la regione finita di piano limitata dalla parabola di vertice \(V(1;1)\) e passante per \(P(2;2)\) e dalla retta \(PV\)?
Le rispondo così:
Cara Valeria,
si deve immaginare tale solido come la differenza tra due solidi di rotazione: il tronco di cono generato dalla rotazione del segmento \(PV\) e il solido generato dalla rotazione dell’arco di parabola \(\stackrel{\frown}{PV}\). Pertanto, essendo \(y=x\) e \(y=x^2-2x+2\) le equazioni della retta \(PV\) e della parabola di vertice \(V\) passante per \(P\), il volume di tale solido è dato da:
\[\pi \int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx-\pi \int\limits_{1}^{2}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{2}}dx=\pi \int\limits_{1}^{2}{\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+8x-4 \right)dx=}}}\]
\[=\pi \left[ -\frac{1}{5}{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-\frac{7}{3}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-4x \right]_{1}^{2}=\frac{7}{15}\pi .\]
Massimo Bergamini