Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Professore, mi aiuti a svolgere quest’altro quesito:
due circonferenze sono tangenti ad una stessa retta \(r\) ed i loro raggi misurano 3 e 5. Una retta \(s\) parallela alla \(r\) ha distanza \(x\) da \(r\) ed interseca entrambe le circonferenze. Determinare \(x\) affinché sia massima a) la somma dei quadrati delle corde intercettate dalle due circonferenze su \(s\); b) la somma delle corde intercettate dalle due circonferenze su \(s\).
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
detta \(AB\) la corda sulla circonferenza di raggio 5 e centro \(O\), \(CD\) la corda sulla circonferenza di raggio 3 e centro \(O’\), se \(M\) è il punto medio di \(AB\) e \(N\) il punto medio di \(CD\), è chiaro che \(MB^2=OB^2-OM^2\) e \(ND^2=O’D^2-O’N^2\), quindi, posto che \(0\leq x \leq 6\):
\[AB=2\sqrt{25-{{(5-x)}^{2}}}=2\sqrt{10x-{{x}^{2}}}\text{ }CD=2\sqrt{6x-{{x}^{2}}}\text{ }\]
da cui:
\[A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}=8\left( 8x-{{x}^{2}} \right)\]
La derivata di tale funzione è \(8(8-2x)\), che si annulla per \(x=4\), corrispondente al massimo cercato.
Se invece si tratta di trovare il massimo di \(AB+CD\), derivando si ha:
\[2\left( \frac{\left( 5-x \right)\sqrt{6x-{{x}^{2}}}+\left( 3-x \right)\sqrt{10x-{{x}^{2}}}}{\sqrt{6x-{{x}^{2}}}\sqrt{10x-{{x}^{2}}}} \right)=2\sqrt{x}\left( \frac{\left( 5-x \right)\sqrt{6-x}+\left( 3-x \right)\sqrt{10-x}}{\sqrt{6x-{{x}^{2}}}\sqrt{10x-{{x}^{2}}}} \right)\]
Tale espressione, oltre che per \(x=0\), si annulla solo se
\[\left( 5-x \right)\sqrt{6-x}=\left( x-3 \right)\sqrt{10-x}\]
Posto che \(x\) risulta accettabile se \(3\leq x \leq 5\), elevando al quadrato e semplificando si ottiene:
\[150-25x=90-9x\Rightarrow x=\frac{15}{4}\]
che risulta accettabile.
Massimo Bergamini