Ricevo da Graziella la seguente domanda:
Egregio prof,
quanto vale
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)}^{x-1}}?\]
Le rispondo così:
Cara Graziella,
il limite, che è forma indeterminata del tipo \(1^\infty\), si può ricondurre a un ben noto limite notevole:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)}^{x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x+2-3}{3x+2} \right)}^{x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\left( -x-2/3 \right)} \right)}^{x-1}}\]
Moltiplicando e dividendo l’esponente \(x-1\) per \((-x-2/3)\), si ha:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)}^{x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( -x-2/3 \right)} \right)}^{-x-2/3}} \right)}^{-\frac{3x-3}{3x+2}}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\]
essendo
\[t=-x-\frac{2}{3}\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\left( -x-2/3 \right)} \right)}^{-x-2/3}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{t} \right)}^{t}}=e\]
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{3x-3}{3x+2} \right)=-1.\]
Massimo Bergamini