MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Un limite notevole

Un limite notevole

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 31 Marzo 2010

Ricevo da Graziella la seguente domanda:

Egregio prof,
quanto vale
                            \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)}^{x-1}}?\]
 
Le rispondo così:
 
Cara Graziella,
il limite, che è forma indeterminata del tipo \(1^\infty\), si può ricondurre a un ben noto limite notevole:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)}^{x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x+2-3}{3x+2} \right)}^{x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\left( -x-2/3 \right)} \right)}^{x-1}}\]
Moltiplicando e dividendo l’esponente \(x-1\) per \((-x-2/3)\), si ha:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)}^{x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( -x-2/3 \right)} \right)}^{-x-2/3}} \right)}^{-\frac{3x-3}{3x+2}}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\]
essendo
\[t=-x-\frac{2}{3}\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\left( -x-2/3 \right)} \right)}^{-x-2/3}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{t} \right)}^{t}}=e\]
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{3x-3}{3x+2} \right)=-1.\]
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, limiti


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl