Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Egregio professore, nel vostro testo ho trovato difficoltà a risolvere questo quesito:
con un cartone rettangolare, di dimensioni di 50 e 40 cm, si vuole costruire con opportuni ritagli e piegature una scatola chiusa. Determina la lunghezza delle tre dimensioni della scatola in modo che il suo volume sia massimo.
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
la figura ci aiuta a capire che, fissato \(a\), le dimensioni \(b\) e \(c\) si ricavano di conseguenza:
\[2a+2b=50\Rightarrow b=25-a\text{ }2a+c=40\Rightarrow c=40-2a\]
essendo \(0<a<20\).
Pertanto, il volume \(V(a)\) della scatola è dato da:
\[V(a)=a\cdot b\cdot c=a(25-a)(40-2a)=2({{a}^{3}}-45{{a}^{2}}+500a).\]
Derivando, si ottiene:
\[V'(a)=2(3{{a}^{2}}-90a+500)\Rightarrow V'(a)=0\Leftrightarrow a=\frac{45\pm 5\sqrt{21}}{3}\]
Il solo valore accettabile è quello minore, corrispondente a un massimo relativo, come si può verificare analizzando il segno della derivata. Pertanto:
\[a=\frac{45-5\sqrt{21}}{3},\text{ }b=\frac{30+5\sqrt{21}}{3},\text{ }c=\frac{30+10\sqrt{21}}{3}.\]
Massimo Bergamini
