Ricevo da Mariella la seguente domanda:
Gentile prof.
avrei bisogno di un aiuto nella risoluzione dei primi due esercizi del questionario pag alfa 47 del libro corso base blu vol. 5:
- Calcola il seguente limite:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos \frac{{{x}^{2}}}{x+1}}{{{\ln }^{2}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1} \right)}\cdot \frac{{{e}^{senx}}-1}{3x}\ .\]
- Determina i valori dei parametri \(h\) e \(k\) in modo che risulti:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}-hx+k \right)=0\ .\]
La ringrazio.
Mariella
Le rispondo così:
Cara Mariella,
per quanto riguarda il primo limite, si può far uso di limiti notevoli, se si riscrive così la funzione:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos \left( \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}{{{\ln }^{2}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{x+1}+1 \right)}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{sinx}}-1}{\sin x} \right)\cdot \ \underset{x\to 0}{\mathop{\frac{1}{3}\lim }}\,\frac{\sin x}{x}\]
Con opportune sostituzioni di variabile (\(t=x^2/(x+1),\;\;p=sinx\)), si ottiene:
\[\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\cos t \right)\cdot {{t}^{2}}}{{{t}^{2}}\cdot {{\ln }^{2}}\left( t+1 \right)}\cdot \underset{p\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{p}}-1}{p} \right)\cdot \ \underset{x\to 0}{\mathop{\frac{1}{3}\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\quad .\]
Nel secondo esercizio, riscritta la funzione in forma equivalente:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}-hx+k \right)=\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-{{h}^{2}} \right){{x}^{2}}-2x\left( 1-hk \right)+4-{{k}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}+hx-k}\]
si deduce che il limite è nullo solo se il numeratore non è un infinito, cioè se \(1-h^2=0\) e \(1-hk=0\), con \(h>0\) (altrimenti il limite è comunque \(+\infty\), pertanto \(h=1\) e \(k=1\).
Massimo Bergamini