Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Caro professore le riporto il testo:
Un trapezio rettangolo \(ABCD\) è circoscritto ad una semicirconferenza di diametro \(AD=2r\) ed è la base di una piramide di altezza \(VA\), il cui spigolo \(VD\) forma un angolo di 30° col piano della base. Inoltre \(AB=AD\). Nella piramide \(VABCD\) è inscritto un semicilindro in modo che una delle basi giace sul semicerchio inscritto nel trapezio \(ABCD\).
- Calcola il perimetro e l’area del trapezio \(ABCD\).
- Determina l’altezza del semicilindro che ha volume massimo
- Determina l altezza del semicilindro che ha area laterale massima.
Mi potrebbe fare la figura?
Grazie mille
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
ecco una figura che spero possa chiarirti il problema:
Il perimetro del trapezio si calcola facilmente osservando che \(AB=BE=2r\) e \(EC=DC\), in quanto coppie di segmenti di tangente, e che il triangolo \(BOC\) è rettangolo in O, essendo \(BO\) e \(CO\) bisettrici dei rispettivi angoli al centro: per il 2° teorema di Euclide, si può dire che \(OE^2=BE\cdot CE\), cioè \(EC=r/2\), per cui il perimetro risulta pari a \(7r\), e l'area \(5r^2/2\).
Per impostare i problemi di massimo volume e di massima superficie laterale del semicilindro inscritto, conviene indicare con \(x\) il raggio \(AM\) del semicilindro, con \(0\leq x \leq r\); una semplice similitudine all’interno del triangolo rettangolo \(ADV\) porta a ricavare l’altezza del semicilindro in funzione di \(x\), cioè \(2\sqrt{3}\left( r-x \right)/3\), da cui facilmente si ricavano volume e superficie laterale… Derivando rispetto a \(x\) si ricavano i valori di massimo per le altezze richiesti ai punti 2. e 3., cioè \(2\sqrt{3}r/9\) e \(\sqrt{3}r/3\).
Massimo Bergamini