Ricevo da Alberto la seguente domanda:
Caro professore, la funzione
\[\frac{\ln x}{\ln x-1}\]
dell’esercizio n. 125 a p. 253 V del manuale blu non è definita in \(x=0\) ma ha un limite finito per \(x\) che tende a 0+. Ha una discontinuità eliminabile in \(x=0\)? O è di seconda specie perché non esiste il limite per \(x\) che tende a 0– ?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Alberto,
no, non si tratta di una discontinuità di 2° specie, poiché la non esistenza del limite da sinistra è dovuta al fatto che la funzione non è definita a sinistra di 0… La discontinuità è eliminabile, poiché basta definire in modo opportuno la funzione nel punto \(x=0\) per renderla continua: poiché il limite vale 1, basta porre \(f(0)=1\) e la funzione così ottenuta risulta continua (da destra) anche in \(x=0\).
A voler esser precisi, tuttavia, per parlare di discontinuità in \(x=0\) la funzione dovrebbe essere definita in tale punto, e avere qui un valore non coincidente con il limite: nel suo insieme di definizione, cioè \(x>0\), la funzione in questione è ovunque continua…Diciamo meglio: più che discontinua in \(x=0\), la funzione la diremo prolungabile per continuità anche a \(x=0\).
Massimo Bergamini