Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Caro professore, come si svolge questo quesito?
La base di una piramide è il triangolo acutangolo \(ABC\) i cui lati \(AB\) e \(BC\) misurano \(28a\) e \(18\sqrt{5}a\).
Il piede dell’altezza è il centro \(O\) della circonferenza di raggio lungo \(21a\) circoscritta al triangolo \(ABC\), il volume della piramide è \(228\sqrt{5}a^3\); determinare lo spigolo laterale della piramide ed il raggio della sfera ad essa circoscritta.
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
detti \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gli angoli nei vertici \(A\), \(B\) e \(C\) del triangolo, utilizzando il teorema della corda, l’informazione “il triangolo è acutangolo”, e alcune relazioni goniometriche, possiamo dire subito che:
\[\sin \alpha =\frac{3\sqrt{5}}{7},\ \cos \alpha =\frac{2}{7},\ \sin \gamma =\frac{2}{3},\ \cos \gamma =\frac{\sqrt{5}}{3}\]
da cui:
\[\sin \beta =\sin \left( \alpha +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma =\frac{19}{21}\]
Pertanto, l’area di base \(S\) è data da:
\[S=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin \beta }{2}=228\sqrt{5}{{a}^{2}}\]
da cui, conoscendo il volume, si può ricavare l’altezza \(VO\) della piramide:
\[VO=\frac{3Vol}{S}=3a\ .\]
Lo spigolo laterale, ad esempio \(VB\), con Pitagora è semplicemente: \(VB=\sqrt{9{{a}^{2}}+441{{a}^{2}}}=15\sqrt{2}a\). Noto lo spigolo, si ricava il raggio \(r=O’B\) della sfera, come lato del triangolo isoscele \(VO’B\) di vertice \(O’\), base \(VB=15\sqrt{2}a\), e angolo alla base \(O’VB\) il cui coseno è \(VO/VB=\sqrt{2}/10\):
\[r={\frac{15\sqrt{2}}{2}a}/{\frac{\sqrt{2}}{10}}\;=75a.\]
Massimo Bergamini