Ricevo da Simone la seguente domanda:
Considerare il fascio di parabole di equazione \((m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0\). Determinare la parabola del fascio tangente alla retta \(x-2y-2=0\) e la parabola del fascio che intercetta sul semiasse positivo delle ordinate un segmento di lunghezza 2.
Quando incontro un quesito che mi chiede di trovare una tangente come nel primo quesito, sia che si tratti di un fascio di circonferenze o altro, qual è il metodo più conveniente? Come mi comporto di fronte ad una richiesta come quella del secondo quesito di trovare una figura come la parabola che "intercetta" un segmento di tot.? Oltre a "intercettare" quale altro sinonimo potrei trovare?
Studiando invece il fascio di parabole di equazione \((m+1)x^2-4(m+1)x-(m+1)y+4+5m=0\) devo individuare la parabola del fascio che forma nel 1° quadrante un triangolo mistilineo di retta 8/3.
In quesiti del genere mi sento incerto…quali consigli mi potrebbe dare per affrontarli al meglio??
Grazie e arrivederci!
Gli rispondo così:
Caro Simone,
la condizione di tangenza tra retta e conica si può ricondurre in generale alla condizione di annullamento del discriminante dell’equazione di 2° grado risolvente il sistema retta-conica (\(\Delta=0\), e nel caso della parabola è un modo conveniente di operare: nel caso della circonferenza si hanno alternative di tipo geometrico in genere più convenienti dal punto di vista dei calcoli (la tangente è la retta che dista dal centro quanto il raggio, ed è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza). Nel primo problema, messa a sistema la retta con il fascio (che è costituito da parabole con asse parallelo all’asse \(x\), tutte passanti per l’origine) si ottiene l’equazione parametrica
\[\left( m+1 \right){{y}^{2}}+4\left( m-1 \right)y-2\left( m-1 \right)=0\]
il cui discriminante è \(\Delta \left( m \right)=8\left( 3{{m}^{2}}-4m+1 \right)\), e pertanto \(\Delta \left( m \right)=0\Leftrightarrow m=1\vee m=1/3\). A \(m=1\) corrisponde la parabola “degenere” \(y=0\), cioè l’asse \(x\), mentre a \(m=1/3\) corrisponde la parabola \(x=2{{y}^{2}}-2y\).
Riguardo all’intercettare segmenti, non significa altro che avere intersezioni in punti \(A\) e \(B\) tali che il segmento \(AB\) abbia una certa misura. Posto \(x=0\) nell’equazione del fascio, le ordinate \(y\) dei punti suddetti sono \(y=0\) e \(y=2(1-m)/(1+m)\) (con \(m\neq -1\), caso in cui la parabola degenera in una retta), per cui la condizione richiesta implica
\[\left| \frac{1-m}{1+m} \right|=1\Rightarrow \frac{1-m}{1+m}=\pm 1\Rightarrow m=0\]
cioè la parabola richiesta è \(x={{y}^{2}}-2y\). In realtà anche la seconda generatrice del fascio, cioè \(x={{y}^{2}}+2y\) soddisfa alla richiesta, ma questa parabola non è ottenibile con nessun valore finito di \(m\): usualmente la si indica come la generatrice corrispondente al valore infinito del parametro.
Riguardo all’altro quesito, c’è qualcosa che non capisco… “un triangolo mistilineo di retta 8/3”?..Forse ti riferivi all’area…Fammi sapere.
Massimo Bergamini