Ricevo da Emanuela la seguente domanda:
Buongiorno, le scrivo perché non ho ancora ben chiaro il concetto di differenziale per funzioni a una o più variabili, nè dal punto di vista analitico nè geometrico. In particolare mi trovo di fronte a questa definizione:
l’incremento \(\Delta f(x_0,y_0)=f(x_0+dx,y_0+dy)-f(x_0,y_0)\) è approssimabile con il differenziale a meno di un infinitesimo d’ordine superiore alla lunghezza dell’incremento stesso.
Io non so neanche cosa significa. Le sarei grata se potesse illustrarmi anche graficamente il concetto.
Le rispondo così:
Cara Emanuela,
è chiaro che se tu davvero “non sai neanche cosa significa” la definizione precedente, mi risulta un po’ difficile riassumere in questo spazio l’insieme di premesse teoriche e di nozioni fondamentali di analisi infinitesimale che sono necessari a sviluppare il concetto di differenziale…. In estrema sintesi:
una funzione ad una variabile \(y=f(x)\) che sia derivabile in un punto \(x_0\) ammette di conseguenza una retta tangente al suo grafico nel punto \(P_0((x_0,f(x_0))\), di equazione \(y=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Se da \(x_0\) ci “spostiamo” in \(x_0+dx\), possiamo considerare sia il corrispondente punto \(P_1(x_0+dx,f(x_0+dx))\) sul grafico della funzione, sia il corrispondente punto \(P_2(x_0+dx,f’(x_0)\cdot dx+f(x_0))\) sulla retta tangente: la differenza tra le ordinate di \(P_1\) e \(P_0\), cioè \(\Delta f(x_0)=f(x_0+dx)-f(x_0)\), rappresenta il reale incremento della funzione, mentre la differenza tra le ordinate di \(P_2\) e \(P_0\), cioè \(df(x_0)=f’(x_0)\cdot dx+f(x_0)-f(x_0)= f’(x_0)\cdot dx \), rappresenta l’incremento “seguendo la retta tangente”, cioè il cosiddetto differenziale. L’errore che si commette “confondendo” il differenziale con il reale incremento della funzione è rappresentato dalla differenza \(\Delta f(x_0)-df(x_0)=o(dx)\), dove con \(o(dx)\) vogliamo indicare che tale differenza, come facilmente si dimostra, tende a 0 al tendere a 0 di \(dx\) più rapidamente di \(dx\) stesso, cioè che, come si dice, l’errore fatto assumendo il differenziale come incremento della funzione per un incremento \(dx\) della variabile è un infinitesimo di ordine superiore all’incremento stesso al tendere a zero dell’incremento:
\[\underset{dx\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta f-df}{dx}=0.\]
Geometricamente, puoi pensare che il segmento \(P_1P_2\), che rappresenta l’errore \(\Delta f-df\), tenda a diventare trascurabilmente piccolo rispetto al segmento \(P_0P_0^\prime\), che rappresenta l’incremeto \(dx\), quando \(P_1\) si riavvicina a \(P_0\), cioè quando non ci si discosta troppo dal punto di tangenza.
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Per una funzione a due variabili \(z=f(x,y)\), il cui grafico in un riferimento \(Oxyz\) è usualmente una superficie, le cose si complicano un po’, ma il concetto è analogo. Si deve però partire dell’idea che l’esistenza di un piano tangente nel punto \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) (cioè l’analogo della retta tangente), che implica la possibilità di definire il differenziale \(df(x_0,y_0)\) nel punto \(x_0,y_0)\), cioè la cosiddetta differenziabilità, è condizione più forte della semplice derivabilità ( e anche della stessa continuità…), cioè dell’esistenza delle derivate parziali nelle direzioni \(x\) e \(y\): l’esistenza di queste non basta a garantire l’esistenza del piano tangente e del differenziale, mentre il viceversa è vero. Tralasciando di dilungarci su quali condizioni possano essere sufficienti a garantirne l’esistenza, il differenziale rappresenta l’incremento di \(f(x_0,y_0)\) “lungo il piano tangente” se da \((x_0, y_0)\) ci spostiamo in \((x_0+dx,y_0+dy)\): dette \(\partial {{f}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) e \(\partial {{f}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) le derivate parziali nel punto \((x_0,y_0)\), si ha:
\[df\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\partial {{f}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot dx+\partial {{f}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot dy\]
che rappresenta l’incremento dell’ordinata \(z\) rispetto all’ordinata \(f(x_0,y_0)\) se ci spostiamo lungo il piano tangente invece che lungo il grafico della funzione. Anche in tal caso si dovrà avere che l’errore
\[\Delta f({{x}_{0}},{{y}_{0}})-df\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=o\left( \sqrt{d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}} \right)\]
sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza \[\sqrt{d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}}\]dell’incremento della variabile, al tendere a zero dell’incremento stesso.
Massimo Bergamini