Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Carissimo professore , grazie di tutto.. C’è un problema che non so risolvere:
Nel trapezio \(ABCD\) rettangolo in \(A\) e in \(D\), la diagonale maggiore \(AC\) interseca l’altezza \(BH\) nel punto \(P\). La differenza dei quadrati dei lati \(AC\) ed \(AH\) è equivalente al rettangolo di lati \(AC\) e \(PC\). Sapendo che \(AH=6\;cm\) e \(PC=3\sqrt{2}\;cm\) determinare l’area della superficie laterale della piramide di base \(ABCD\), vertice \(V\) e altezza \(VP=2\sqrt{3}\;cm\).
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
la condizione \(AC^2-AH^2=AC\cdot PC\) si traduce subito in un’equazione per \(AC\):
\[A{{C}^{2}}-3\sqrt{2}AC-36=0\Rightarrow AC=6\sqrt{2}\;cm\]
Si deduce quindi che \(P\) è punto medio della diagonale \(AC\), per cui i triangoli rettangoli \(ABP\) e \(HPC\) risultano congruenti: di conseguenza \(AB=DH=HC\) e \(AD=2BP=2PH\). Posto \(BP=x\) e \(AB=y\), applicando Pitagora si deve avere:
\[\left\{ \begin{array}{ll} x^2+y2=18\\ 4x2+y^2=36 \end{array} \right.\]
da cui \(x=\sqrt{6}\;cm\), \(y=2\sqrt{3}\;cm\). Si tratta ora di determinare gli apotemi delle quattro facce triangolari:
\[GV=\sqrt{G{{P}^{2}}+P{{V}^{2}}}=2\sqrt{6}\;cm,\ HV=BV=3\sqrt{2}\;cm,\ KV=\sqrt{14}\;cm\]
Si può ora facilmente ricavare la superficie laterale totale della piramide:
\[(12+9\sqrt{6}+3\sqrt{2})\;cm^2.\]
Massimo Bergamini