Ricevo da Svetlana la seguente domanda:
Gentile professore ,
ho difficoltà a svolgere questo esercizio. Chiedo il suo aiuto. Grazie
Studiare la funzione
\[f\left( x \right)=\sqrt[4]{4-x}\cdot {{e}^{-3\left| x-2 \right|}}\]
e in particolare: dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, classificazione degli eventuali punti di non derivabilità (non sono richiesti il calcolo e lo studio della derivata seconda). Disegnarne un grafico qualitativo.
Determinare l’immagine di \(f\).
Determinare un intervallo in cui \(f\) risulti invertibile, e dire dove è definita la funzione inversa \({{f}}^{-1}\) così determinata. Senza calcolarla, disegnare un grafico qualitativo di \({{f}}^{-1}\).
Le rispondo così:
Cara Svetlana,
il dominio della funzione, che può essere così riscritta:
\[f\left( x \right)=\sqrt[4]{4-x}\cdot {{e}^{-3\left( x-2 \right)}}\ se\ 2\le x\le 4\]
\[f\left( x \right)=\sqrt[4]{4-x}\cdot {{e}^{3\left( x-2 \right)}}\ \text{ }se\ x<2\]
è l’insieme di non negatività del radicando: \({{D}_{f}}=\left] -\infty ,4 \right]\). La funzione è positiva e continua in ogni punto di \(D_f\), eccetto che in \(x=4\) dove vale 0: anche in \(x=2\), dove la funzione vale \(\sqrt[4]{2}\), si ha continuità, come si può verificare facilmente. La funzione non è né pari né dispari, né presenta simmetrie rispetto ad altri assi o punti. L’unico limite significativo è per \(x\) tendente a \(-\infty\): tale limite, che si presenta nella forma \(0\cdot\infty\), vale 0, come si può ricavare dalla riscrittura \(\sqrt[4]{4-x}\cdot {{e}^{-3\left| x-2 \right|}}=\sqrt[4]{4-x}/{{e}^{3\left| x-2 \right|}}\): l’infinito a numeratore è chiaramente di ordine inferiore rispetto all’infinito esponenziale a denominatore. Il semiasse delle negativo delle ascisse è quindi asintoto orizzontale per il grafico di \(f\). Ricaviamo la derivata prima:
\[f’\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3\left( x-2 \right)}}\left( 12x-49 \right)}{4\cdot \sqrt[4]{{{\left( 4-x \right)}^{3}}}}\ \ se\ 2<x\le 4\]
\[f’\left( x \right)=\frac{{{e}^{3\left( x-2 \right)}}\left( -12x+47 \right)}{4\cdot \sqrt[4]{{{\left( 4-x \right)}^{3}}}}\ \ \ \text{ }se\ x<2\]\[\]
La funzione non è derivabile in \(x=2\): questo è suggerito (non dimostrato..) dal fatto che il limite per \(x\) che tende a 2 di \(f’(x)\) non esiste, in quanto da destra vale \(-25\sqrt[4]{2}/8\), mentre da sinistra vale \(23\sqrt[4]{2}/8\), e dimostrato dal fatto che i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale presentano la stessa discordanza. Si può quindi dire che il punto di ascissa \(x=2\) è un punto angoloso per il grafico di \(f\). Si osserva poi facilmente che il segno della derivata prima dipende solo dal segno dei binomi \((12x-49)\), sempre negativo per \(\ 2<x\le 4\), e \((-12x+47)\), sempre positivo per \(x<2\), e pertanto \(\ 2<x\le 4\) è un intervallo di decrescenza mentre \((-12x+47)\) è un intervallo di crescenza. Questo dimostra che il punto di ascissa \(x=2\) è un massimo relativo, se pur non di tipo “regolare”, non essendo definita la derivata nel punto.
Le considerazioni svolte nello studio della funzione portano a concludere che l’immagine della funzione è l’insieme \(f(D_f)=\left[0,\sqrt[4]{2}\right]\).
Una restrizione \(f_*\) di \(f\) a ciascuno dei due intervalli di monotonia uniforme precedentemente determinati risulta invertibile: ad esempio, considerando la restrizione \(f_*\) al sottodominio \({{K}_{f_*}}=\left[ 2 ,4 \right]\), l’inversa \({{f}_{*}}^{-1}\) risulta definita in \(\left[ 2 ,4 \right]\), e il suo grafico è semplicemente il simmetrico del grafico di \(f_*\) rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, cioè la simmetria di scambio \(x\leftrightarrow y\).
Massimo Bergamini