Ricevo da Angelo la seguente domanda:
Gentile professore, non sono riuscito a risolvere l’integrale
\[\int{{{2}^{x}}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)}\,dx\]
L’esercizio richiede di integrare per parti. Ci ho provato e riprovato ma senza successo… mi aiuti!!
Gli rispondo così
Caro Angelo,
l’integrale è in effetti risolvibile per parti, ma non è elementare… Tenendo presente che \[\int{{{2}^{x}}\,dx=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}}\] si ha:
\[\int{{{2}^{x}}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)}\,dx=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)+\frac{3}{\ln 2}\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx\;.\]
L’integrale di \({{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)\) si può risolvere per parti utilizzando però il fattore \(\sin \left( 6x \right)\) come fattore integrale:
\[\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{6}\int{{{2}^{x}}\cos \left( 6x \right)}\,dx=\]
\[=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{6}\left( \frac{{{2}^{x}}}{6}\sin \left( 6x \right)-\frac{\ln 2}{6}\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx \right)=\]
\[=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{36}{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)-\frac{{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}{36}\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx\]
L’integrale risulta espresso in funzione di stesso, e quindi possiamo ricavarlo esplicitandolo:
\[\left( 1+\frac{{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}{36} \right)\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{36}{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)\Rightarrow \]
\[\Rightarrow \int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=\frac{{{2}^{x}}\left( \ln 2\sin \left( 6x \right)-6\cos \left( 6x \right) \right)}{36+{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}+c\ .\]
In conclusione, l’integrale di partenza è dato da:
\[\int{{{2}^{x}}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)}\,dx=\frac{{{2}^{x}}\left( \left( 36+{{\ln }^{2}}2 \right){{\cos }^{2}}\left( 3x \right)+3\ln 2\sin \left( 6x \right)-18\cos \left( 6x \right) \right)}{\ln 2\left( 36+{{\ln }^{2}}2 \right)}+c\ .\]
Massimo Bergamini