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Una soluzione approssimata

Una soluzione approssimata

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 30 Maggio 2010

Ricevo da Laura la seguente domanda:

Gentilissimo professore
avrei ancora bisogno del suo aiuto per capire quest’altro esercizio:
Risolvere con approssimazione pari a 1/10: \(e^x+3x=0\).
La ringrazio di cuore

Le rispondo così:
 
Cara Laura,
la prima considerazione da fare è che, essendo la funzione \(f(x)=e^x+3x\) definita, continua e derivabile in tutto R, e con derivata sempre positiva (\(f’(x)=e^x+3\)), quindi monotòna crescente, se esite una soluzione \(x_0\) dell’equazione \(e^x+3x=0\) questa è unica. L’esistenza è garantita dal fatto (teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue) che la funzione assume valori di segno opposto negli estremi di un intervallo chiuso e limitato, ad esempio \([-1,0]\), infatti:
                                     \[f\left( -1 \right)=\frac{1}{e}-3\approx -2,632\quad f\left( 0 \right)=1\]
Pertanto \(-1<x_0 <0\). Per approssimare \(x_0\) alla prima cifra decimale, possiamo utilizzare il semplice metodo di bisezione o il più elaborato ma efficace metodo delle tangenti di Newton-Raphson, applicabile in questo caso poiché nell’intervallo la derivata seconda dela funzione (\(e^x\)) è continua e di segno costante (positivo). La formula iterativa che si ricava da tale metodo è la seguente, dove \(b\) indica l’ascissa dell’estremo dell’intervallo in cui il segno della funzione è concorde con quello della derivata seconda:
\[{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-\frac{f\left( {{x}_{n}} \right)}{f’\left( {{x}_{n}} \right)},\quad {{x}_{0}}=b-\frac{f\left( b \right)}{f’\left( b \right)}\quad .\]
Nel nostro caso, in cui \(b=0\), si ha:
\[{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-\frac{{{e}^{{{x}_{n}}}}+3{{x}_{n}}}{{{e}^{{{x}_{n}}}}+3},\quad {{x}_{0}}=\frac{1}{4}\]
\[{{x}_{1}}=\frac{1}{4}-\frac{{{e}^{1/4}}+3/4}{{{e}^{1/4}}+3}\approx -0,2248\quad \]
\[{{x}_{2}}=-0,2248-\frac{{{e}^{-0,2248}}-3\cdot 0,2248}{{{e}^{-0,2248}}+3}\approx -0,2575\quad \]
\[{{x}_{3}}=-0,2575-\frac{{{e}^{-0,2575}}-3\cdot 0,2575}{{{e}^{-0,2575}}+3}\approx -0,2576\quad \]
……………………………………………….
La soluzione, precisa alla prima cifra decimale, è quindi \(x_0=0,2\).
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, analisi numerica, equazioni, metodo delle tangenti


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