Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentile professore, ho difficoltà a fare questo esercizio. Grazie
Determinare l’estremo superiore e quello inferiore delle funzioni:
a)\[f\left( x \right)=-\arctan \left( 1+{{x}^{3}} \right)\]
b) \[E=\left\{ {{a}_{n}}=\frac{2n}{n+3},n\in \mathbb{N} \right\}\]
Dire se si tratta di un minimo o di un massimo.
Le rispondo così:
Cara Paola,
nel primo caso si tratta di determinare gli eventuali inf e sup dell’insieme immagine della funzione. La funzione è definita e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) e la derivata è sempre negativa:
\[f\left( x \right)=-\frac{3{{x}^{2}}}{1+{{\left( 1+{{x}^{3}} \right)}^{2}}}\]
per cui la funzione è monotona decrescente in tutto il suo dominio. I limiti agli infiniti
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\arctan \left( 1+{{x}^{3}} \right) \right)=-\frac{\pi }{2},\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\arctan \left( 1+{{x}^{3}} \right) \right)=\frac{\pi }{2}\]
definiscono l’insieme immagine \({{C}_{f}}=\left] -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right[\), aperto agli estremi poiché tali valori non possono essere assunti dalla funzione. Che sia \(inf(C_f)=-\pi/2\) e \(sup(C_f)=\pi/2\) si può affermare come conseguenza della definizione stessa di limite e della monotonia della funzione: \(\forall \varepsilon >0\), esiste un \({{M}_{\varepsilon }}>0\) tale che per ogni \(x>M\) sia \(-\pi/2<f(x)<-\pi/2 + \varepsilon \), e in modo analogo per il sup. Non essendo compresi in \(C_f\), tali inf e sup non sono min e max.
Nel secondo caso si tratta di una successione monotona crescente, tendente al limite 2 per \(n\) tendente a \(+\infty\), infatti:
\[\frac{2(n+1)}{n+4}>\frac{2n}{n+3}\to 3>0\Rightarrow {{a}_{n+1}}>{{a}_{n}}\ \forall n,\quad \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2n}{n+3}=\frac{2}{\left( 1+3/n \right)}=2\quad .\]
Quindi \(a_0=0\) è l’inf di \(E\), ed è anche min, mentre il sup coincide con il valore limite 2, che non è max poiché è avvicinabile tanto quanto si vuole per \(n\) abbastanza grande ma non ottenibile per nessun valore finito di \(n\) .
Massimo Bergamini