Ricevo da Jenny la seguente domanda:
Caro prof, oggi ho fatto la prova del PNi liceo scientiifco…Le vorrei chiedere un chiarimeto sul primo problema….. Tutti hanno calcolato l’integrale di \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}\), io ho fatto: \(f\left( x \right)=\int\limits_{-2}^{x}{g\left( t \right)\,}dt\)…Mi scusi, ma quindi non potevo semplicemente, per calcolare \(f(1)\), applicare il teorema di Torricelli…? E quindi \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}=f(x)\)????? Molto probabilmente ho sbagliato ma non ho capito perchè. La ringrazio antcipatamente
Le rispondo così:
Cara Jenny,
non ho ben capito perchè ritieni che il teorema di Torricelli implichi \(f(x)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)… E’ \(f^\prime (x)=g(x)= \sqrt{4-{{x}^{2}}}\) per \(-2\leq x \leq 2\), non \(f(x)\)!… L’idea di integrare \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) tra -2 e 1 per ricavare \(f(1)\) è corretta, ma l’integrale, non facile, poteva essere evitato da questa semplice considerarzione geometrica: detto \(P\) il punto del grafico di \(g(x)\) di ascissa 1, si vede facilmente che il raggio \(OP\) forma un angolo di 60° con l’asse \(x\), per cui \(f(1)\), in quanto area del sottografico tra -2 e 1, corrisponde all’area di un settore circolare di ampiezza 120° nella circonferenza di raggio 2, più l’area del triangolo rettangolo \(OPH\), essendo \(H\) la proiezione di \(P\) sull’asse \(x\), pertanto:
\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{3}4\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini