Ricevo da Alessia la seguente domanda:
Professore buonasera ho un dubbio su un integrale:
\[\int{\frac{1}{{{x}^{1/3}}\left( x+1 \right)}}\,dx\ .\]
Ho applicato la sostituzione \({{x}^{1/3}}=t\) e da qui ho calcolato il \(dx=3t^2dt\). A questo punto l’integrale diventa
\[3\int{\frac{t}{{{t}^{3}}+1}}\,dt\]
e questo è un integrale razionale e quindi svolgendo il denominatore ottengo:
\[\frac{A}{t+1}+\frac{2Bt-1}{{{t}^{2}}-t+1}\ .\]
Ed è proprio qui che è il mio dubbio: al secondo membro ho posto al numeratore la derivata del denominatore, è giusto questo passaggio??? invece di considerare solo \(Bt+C\).
Spero di essermi riuscita a spiegare, grazie in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Alessia,
non mi pare proprio che \(2Bt-1\) sia la derivata del denominatore \(t^2-t+1\), essendo \(B\) ancora da determinare… Non può funzionare la tua scelta, poiché otterresti un sistema di tre equazioni per i parametri incogniti \(A\) e \(B\), che presumibilmente risulterebbe impossibile (come puoi verificare…). Ti servono tre parametri, \(A\), \(B\) e \(C\) poiché la riduzione a fratti semplici in questo caso comporta un’identità tra polinomi di 2° grado:
\[\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{{{t}^{2}}-t+1}\ =\frac{t}{{{t}^{3}}+1}\to \left( A+B \right){{t}^{2}}+\left( -A+B+C \right)t+A+C=t\to \]
\[\to A=-\frac{1}{3},B=C=\frac{1}{3}\ \to 3\int{\frac{t}{{{t}^{3}}+1}}\,dt=-\int{\frac{1}{t+1}}\,dt+\int{\frac{t+1}{{{t}^{2}}-t+1}}\,dt\]
Calcoliamo i due integrali:
\[-\int{\frac{1}{t+1}}\,dt=-\ln \left| t+1 \right|\]
\[\int{\frac{t+1}{{{t}^{2}}-t+1}}\,dt=\frac{1}{2}\int{\frac{2t-1}{{{t}^{2}}-t+1}}\,dt+\frac{3}{2}\int{\frac{1}{{{t}^{2}}-t+1}}\,dt=\frac{1}{2}\ln \left| {{t}^{2}}-t+1 \right|+2\int{\frac{1}{{{\left( \frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+1}}\,dt\]
L’ultimo integrale, posto \(p=(2t-1)/\sqrt{3}$e $dp=2dt/\sqrt{3}\), si traduce in
\[2\int{\frac{1}{{{\left( \frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+1}}\,dt=\sqrt{3}\int{\frac{1}{{{p}^{2}}+1}}\,dp=\sqrt{3}\arctan p=\sqrt{3}\arctan \left( \frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right)\]
per cui, sostituendo, si ha:
\[\int{\frac{1}{{{x}^{1/3}}\left( x+1 \right)}}\,dx\ =-\ln \left| \sqrt[3]{x}+1 \right|+\frac{1}{2}\ln \left| \sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x}+1 \right|+\sqrt{3}\arctan \left( \frac{\sqrt{3}}{3}\left( 2\sqrt[3]{x}-1 \right) \right)+c\quad .\]
Massimo Bergamini