Ricevo da Svetlana la seguente domanda:
Gentile professore, la prego di aiutarmi a svolgere questo esercizio. Grazie
Individuare il dominio di continuità e di derivabilità della funzione:
\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\left| x \right|}\arctan x\quad x\le 1 \\ \frac{\pi }{4} \sin \left( \frac{\pi }{6}\right) x\quad \quad x>1 \end{array} \right.\]
Le rispondo così:
Cara Svetlana,
tenendo conto che \(\sin(\pi/6)=1/2\), la funzione può essere riscritta così:
\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\left| x \right|}\arctan x\quad x\le 1 \\ \frac{\pi }{4} x\quad \quad \quad \quad \quad \quad x>1 \end{array} \right.\]
e si può quindi facilmente constatare che la continuità si ha anche nel punto \(x=1\), essendo \(f(1)=\arctan(1)=\pi/4\) e anche \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\), oltre che in ogni altro \(x\in \mathbb{R}\). Riguardo la derivabilità, possono esservi problemi anche nel punto \(x=0\), oltre che in \(x=1\), poiché
\[f^\prime \left( x \right)=\left\{ \begin{array}{lll} -\frac{1}{2}\arctan (x)/\sqrt{\left| x \right|}+\sqrt{\left| x \right|}/(1+{x}^{2})\quad x<0 \\ \frac{1}{2}\arctan (x)/\sqrt{\left| x \right|}+\sqrt{\left| x \right|}/(1+{x}^{2})\quad 0<x<1 \\ \frac{\pi }{4}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x>1\end{array} \right.\]
Ma poiché, utilizzando il teorema di de l’Hopital, si ricava facilmente che
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan x}{2\sqrt{\left| x \right|}}=0\]
si ha di conseguenza \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f^\prime \left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f^\prime \left( x \right)=0\), e quindi la funzione è derivabile in \(x=0\) e \(f^\prime (0)=0\). Invece la funzione non è derivabile in \(x=1\), poiché
\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f’\left( x \right)=\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2}\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f’\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\quad .\]
Massimo Bergamini