Ricevo da Valentina la seguente domanda:
Salve professore! Non riesco a capire quando un limite non esiste…e ho anche un esempio preso dal mio libro di testo:
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x-{{x}^{2}}}\quad .\]
Il risultato è che il limite non esiste e non capisco come mai…
Grazie per l’attenzione!
Valentina
Le rispondo così:
Cara Valentina,
non è facile rispondere in generale alla tua domanda: poiché la definizione di limite non è costruttiva, ma è piuttosto un test a cui viene sottoposto un “candidato” al ruolo di limite, e di candidati ce ne sono infiniti, è chiaro che in teoria, per dimostrare che non esiste il limite per una data funzione per \(x\) che tende ad un dato \(x_0\), finito o infinito, bisognerebbe effettuare infinite verifiche. In pratica, il più delle volte si può far ricorso ad alcune utili tecniche. Ad esempio, se \(x_0\) è avvicinabile sia da destra che da sinistra, cioè ammette un intorno completo tutto interno al dominio, eccetto al più \(x_0\) stesso, il limite esiste se e solo se esistono i limiti destro e sinistro e sono uguali: l’eventuale diversità dei due limiti, o la non esistenza di almeno uno di essi, implica la non esistenza del limite. Un’altra tecnica si basa sul fatto che, se esiste il limite per \(x\) che tende a \(x_0\) ed è uguale ad \(l\), allora, considerata una qualunque successione \(a_n\) di numeri reali tale che per \(n\) tendente a \(+\infty\) si abbia che \(a_n\) tende a \(x_0\), la successione \(f\left(a_n\right)\) deve tendere a \(l\) per \(n\) tendente a \(+\infty\) : se si trovano due successioni \(a_n\) e \(b_n\) tendenti a \(x_0\) tali che \(f\left(a_n\right)\) e \(f\left(b_n\right)\) tendono a limiti diversi per \(n\) tendente a \(+\infty\), allora il limite non esiste (esempio: \(f(x)=\sin x\), per \(x\) che tende a \(+\infty\): la funzione calcolata nei valori della successione \(\pi/2+2n\pi\), con \(n\) intero positivo, tende a 1, calcolata nei valori della successione \(2n\pi\) tende a 0).
Bisogna però accordarsi bene sulla definizione di limite, altrimenti un esempio come quello che riporti dal tuo testo risulta ambiguo. È chiaro che la funzione del tuo esempio ha come dominio l’intervallo \([0,1]\), e quindi il punto \(x=1\) non ammette un intorno completo tutto contenuto nel dominio: il punto è avvicinabile solo da sinistra. Quello che credo il tuo testo voglia dire, seguendo una convenzione che è anche di altri testi ma che, per il motivo che cercherò di spiegarti, non mi trova molto d’accordo, è che il limite non esite come limite completo, cioè “da sinistra e da destra”, ma solo come limite “da sinistra”, che andrebbe indicato come \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x-{{x}^{2}}}\).
Tuttavia, se il significato di \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l\), con \(x_0\) di accumulazione per il dominio \(D_f\) della funzione \(f(x)\), è il seguente (\(I(x_0)\) e \(I(l)\) indicano generici intorni aperti di \(x_0\) e \(l\)):
\[\forall I\left( l \right)\ \exists \,I\left( {{x}_{0}} \right)/\forall x\in I\left( {{x}_{0}} \right)\cap {{D}_{f}}-\left\{ {{x}_{0}} \right\}\Rightarrow f\left( x \right)\in I\left( l \right)\]
il fatto di considerare, nella definizione, solo gli \(x\) appartenenti al dominio della funzione in ogni intorno di \(x_0\), rende perfettamente lecito affermare che, ad esempio, \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x-{{x}^{2}}}=0\), senza alcun bisogno di specificare se si tratti o meno di un limite solo da sinistra, visto che un limite da destra non avrebbe senso in questo caso: se si adotta la definizione di limite suddetta, la specificazione “da destra” o “da sinistra” sarà necessaria solo nel caso che \(x_0\) ammetta un intorno completo tutto contenuto nel dominio.
Massimo Bergamini