Ricevo da Simone la seguente domanda:
a) Dati l’equazione della parabola \(y=-x^2+2x+3\) e l’equazione della retta \(2x+y-7=0\) determinare sul segmento di retta compreso nel primo quadrante, un punto \(P\) in modo che sia verificata la relazione \(PA^2+PB^2=k\), essendo \(A\) e \(B\) le intersezioni della parabola rispettivamente con l’asse \(y\) e con la parte positiva dell’asse \(x\).
b) Le due parabole di equazione: \(y=x^2/4\) e \(y=-x^2+5\) hanno in comune i due punti \(A\) e \(B\). Si conducano due rette parallele all’asse delle \(y\) e simmetriche rispetto a tale asse e si indichino con \(P\) e \(Q\) i punti in cui ciascuna di esse taglia l’arco \(AB\) della prima parabola e con \(M\) e \(N\) i punti in cui ciascuna di esse incontra l’arco \(AB\) della seconda parabola.
Determinare la posizione delle suddette rette in modo che sia \(2p\) il perimetro del rettangolo \(PQNM\).
Del secondo problema m’interessa soprattutto l’impostazione e la discussione del quesito in funzione di \(p\)!!
Grazie per l’attenzione sempre "in tempo reale" e buona giornata!!
Grazie per l’attenzione sempre "in tempo reale" e buona giornata!!
Gli rispondo così
Caro Simone,
riguardo al primo problema, accertato facilmente che l’ascissa \(x\) di \(P\) è tale che \(0\leq x\leq 7/2\), e ricavati \(A(0,3)\) e \(B(3,0)\), si ha:
\[P{{A}^{2}}+P{{B}^{2}}=k\to {{x}^{2}}+{{\left( 4-2x \right)}^{2}}+{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 7-2x \right)}^{2}}=k\to 10{{x}^{2}}-50x+74=k\ .\]
Possiamo ora trasformare la nostra equazione parametrica in un equivalente problema di geometria analitica, del tipo: intersezioni arco di parabola-fascio improprio di rette parallele all’asse \(y\):
\[\left\{ \begin{array}{lll} y=10x^2-50x+74 \\ y=k \\ 0\leq x\leq 7/2 \end{array} \right. \]
\[\left\{ \begin{array}{lll} y=10x^2-50x+74 \\ y=k \\ 0\leq x\leq 7/2 \end{array} \right. \]
Con l’aiuto della rappresentazione grafica, e osservando che gli estremi dell’arco di parabola sono i punti \(C(7/2,43/2)\) e \(D(0,74)\), mentre il vertice ha coordinate \(V(5/2,23/2)\), si conclude che:
per \(23/2\leq k \leq 43/2\): 2 soluzioni (coincidenti nel caso di \(k=23/2\));
per \(43/2 <k\leq 74\): 1 soluzione.
Nel secondo problema, la variabile opportuna da scegliere è l’ascissa positiva \(x\) che determina la prima delle due rette parallela ad \(y\) che definiscono sulle parabole il rettangolo \(PQNM\). Poiché si ricavano facilmente le coordinate \(A(2,1)\) e \(B(-2,1)\) dei punti di intersezione delle due parabole, si ha che \(0\leq x\leq 2\).
Si ha \(NM=PQ=2x\), mentre \(NQ=MP=-x^2+5-x^2/4=-5x^2/4+5\). Quindi: \(-5x^2/2+4x+10=2p\). Anche in questo caso il problema si può così riformulare, tenendo conto delle limitazioni su \(x\):
\[\left\{ \begin{array}{lll} y=-\frac{5}{4}x^2+2x+5 \\ y=p \\ 0\leq x\leq 2 \end{array} \right. \]
Con l’aiuto della rappresentazione grafica, e osservando che gli estremi dell’arco di parabola sono i punti \(E(2,4)\) e \(F(0,5)\), mentre il vertice ha coordinate \(V(2/5,29/5)\), si conclude che:
per \(4\leq p < \): 1 soluzione;
per \(5\leq p \leq 29/5\): 2 soluzioni (coincidenti nel caso di \(p=29/5\)).
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Massimo Bergamini