Ricevo da Rosanna la seguente domanda:
Salve professore,
la scorsa volta è stato gentile e chiaro nella spiegazione ma…purtroppo ho difficoltà. Le presento la risoluzione di questo esercizio, così come l’ho fatto io (anche se sono sicura che sia sbagliato!).
Si verifichi la continuità o meno della funzione:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x\cos\left(\frac{1}{x}\right)\;\;\;\;x\neq 0 \\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0 \end{array} \right.\]
Innanzitutto le considero come due funzioni diverse che esaminerò singolarmente.
1. Insieme di definizione della prima funzione: per ogni \(x\) appartenente ad \(\mathbb{R}\) escluso il punto \(0\) perchè si annulla il denominatore dell’argomento del coseno \(1/x\) (quindi \(x=0\) verrà esaminato attentamente perchè un punto di discontinuità); mentre la seconda funzione è solo un punto.
2. \(f(x)=x\cos(1/x)\) è continua per ogni punto del suo insieme di definizione, inoltre è composta da funzioni continue, tranne in \(x=0\) dove \(1/x\) non è definita (ma non mi interessa perchè nella traccia esclude questo punto).
3. Determino il valore della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) in \(x=0\) ….come faccio???? Siccome in \(0\) non è definita e quindi non posso calcolarlo devo considerare la seconda funzione dove mi dice che \(f(x)=0\) per \(x=0\) ????
4. Determino il valore del limite, se esiste, per \(x\) che tende a \(0\) della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) (cosa devo utilizzare? Sostituzione o limiti notevoli? Non capisco).
3. Determino il valore della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) in \(x=0\) ….come faccio???? Siccome in \(0\) non è definita e quindi non posso calcolarlo devo considerare la seconda funzione dove mi dice che \(f(x)=0\) per \(x=0\) ????
4. Determino il valore del limite, se esiste, per \(x\) che tende a \(0\) della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) (cosa devo utilizzare? Sostituzione o limiti notevoli? Non capisco).
5. Eguaglio il limite con \(f(0)\) : se è uguale, allora la funzione è continua.
Dove sbaglio? Perché non riesco a svolgerlo? E se nella seconda funzione \(f(x)=0\) ci fosse stata una funzione normale e non un valore???? Poi se \(f(x)=x\cos(1/x)\) non è definita in \(0\), come fa ad essere continua, perchè nel secondo caso mi ha detto che in \(0\) la funzione vale \(f(x)=0\) ???
MI AIUTI!! NON SO COME FARE!!
Le rispondo così:
Cara Rosanna,
credo che tu ti debba chiarire alcune questioni fondamentali, non tanto sulla continuità quanto in generale sulle funzioni che, come questa, sono definite da due o più “leggi” diverse in diversi sottoinsiemi del proprio dominio… Non è corretto guardare alla \(f(x)\) del tuo esempio come se si trattasse di una coppia di funzioni da studiare separatamente: la tua funzione è una sola, è definita in tutto \(\mathbb{R}\) e vale \(0\) in \(x=0\)! Come giustamente osservi, la funzione è sicuramente continua per \(x\neq 0\), perché per tali valori di \(x\) la funzione è il prodotto di funzioni continue: l’unico punto dubbio è \(x=0\). Il valore nel punto l’abbiamo, si tratta di calcolare il
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x\cos \left( \frac{1}{x} \right)\]
(ovviamente tale limite non dipende da ciò che la funzione fa o non fa esattamente in \(x=0\)). Questo è effettivamente un limite non banale, poiché di per sé \(\cos \left( 1/x \right)\) non ammette limite per \(x\) che tende a \(0\), ma la moltiplicazione per l’infinitesimo \(x\) suggerisce una classica applicazione del cosiddetto teorema del confronto: poiché, essendo \(\cos \left( 1/x \right)\) limitata tra -1 e 1, per ogni \(x\neq 0\) si ha
\[-x\le x\cos \left( \frac{1}{x} \right)\le x\]
e poiché sia \(-x\) che \(x\) tendono a \(0\) per \(x\) che tende a \(0\), anche \(x\cos \left( 1/x \right)\) tende a \(0\) per \(x\) che tende a \(0\), perciò la funzione è continua anche in \(x=0\), essendo
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\ .\]
Massimo Bergamini