Ricevo da Daniele la seguente domanda:
Buon giorno.
Da un qualche giorno cerco di cimentarmi su un problema di Statistica:
Tre urne hanno il seguente contenuto: la prima contiene 5 palline bianche, 3 verdi, 2 rosse; la seconda contiene 4 bianche, 4 verdi, 6 rosse; la terza 1 bianca 3 verdi 7 rosse. Da un’urna (scelta a caso) viene estratta una pallina (detta X) e la X viene rimessa nella terza urna.
Da questa configurazione nuova viene estratta un’altra pallina (detta Y) da un’urna scelta a caso.
Qual è la probabilità che la pallina Y sia bianca?
Qual è la probabilità che la pallina Y sia bianca?
Se l’ultima estrazione ha dato come risultato Y=verde, qual è la probabilità che Y=X?
Il mio professore mi ha detto che è una ripartizione doppia. Ma come posso definirla? E come si risolvono i due punti?
Vi ringrazio e vi saluto cordialmente.
Daniele Tripoli
Gli rispondo così
Caro Daniele,
non mi pronuncio sul tipo di ripartizione o su altre questioni di lessico specifico, ma mi limito ad affrontare il problema in modo molto diretto, col seguente grafo ad albero che, se pur non di immediata lettura, offre tutte le informazioni che occorrono:
Si noti che l’esito della prima estrazione ridefinisce la composizione delle urne nel modo indicato dai numeri colorati, e quindi condiziona l’esito della seconda estrazione.
Credo sia chiaro che un evento come \((Y=B)\): “ la pallina Y è bianca ”, ha una probabilità che si ottiene moltiplicando le probabilità su ciascuna delle sequenze di rami che portano a un ramo finale “bianco” (sono quattro fattori), poi sommando su tutte le sequenze di questo tipo (sono 27). Pertanto:
\[p\left( Y=B \right)=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{4}{9}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{10}\cdot \left( \frac{5}{9}+\frac{2}{7}+\frac{1}{12} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{5}\cdot \left( \frac{5}{9}+\frac{2}{7}+\frac{1}{12} \right)+\]
\[+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{7}\cdot \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{13}+\frac{1}{6} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{7}\cdot \left( \frac{1}{2}+\frac{4}{13}+\frac{1}{12} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{7}\cdot \left( \frac{1}{2}+\frac{4}{13}+\frac{1}{12} \right)+\]
\[+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{11}\cdot \left( \frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{1}{11} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{11}\cdot \left( \frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{1}{11} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{7}{11}\cdot \left( \frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{1}{11} \right)=\]
\[=\frac{1651}{5544}\approx 29,78\%\quad .\]
La seconda questione è una tipica applicazione della formula di Bayes: la probabilità di \((X=V)\) sapendo che è avvenuto \((Y=V)\), cioè \(p(X=V|Y=V)\), si può ottenere come il rapporto tra la probabilità di "\((X=V)\) et \((Y=V)\)", cioè \(p(X=V\cap Y=V)\), e la probabilità di \((Y=V)\):
\[p\left( Y=V \right)=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{3}+\frac{2}{7}+\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{10}\cdot \left( \frac{2}{9}+\frac{2}{7}+\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{5}\cdot \left( \frac{1}{3}+\frac{2}{7}+\frac{1}{4} \right)+\]
\[+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{7}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{4}{13}+\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{7}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{3}{13}+\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{7}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{4}{13}+\frac{1}{4} \right)+\]
\[+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{11}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{2}{7}+\frac{3}{11} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{11}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{2}{7}+\frac{3}{11} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{7}{11}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{2}{7}+\frac{3}{11} \right)=\]
\[=\frac{23827}{83160}\approx 28,65\%\ .\]
\[p\left( \left( X=V \right)\cap \left( Y=V \right) \right)=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{10}\cdot \left( \frac{2}{9}+\frac{2}{7}+\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{7}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{3}{13}+\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{11}\cdot \left( \frac{3}{10}+\frac{2}{7}+\frac{3}{11} \right)=\]
\[=\frac{24226}{297297}\approx 8,148\%\ .\]
Pertanto:
\[p\left( \left( X=V \right)|\left( Y=V \right) \right)=\frac{p\left( \left( X=V \right)\cap \left( Y=V \right) \right)}{p\left( Y=V \right)}=\frac{24226}{297297}\cdot \frac{83160}{23827}=\frac{969040}{3407261}\approx 28,44\%\quad .\]
Massimo Bergamini