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Ancora sulla non esistenza del limite

Ancora sulla non esistenza del limite

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 6 Luglio 2010

Ricevo da Domenico la seguente domanda:

Salve professore,
non riesco a comprendere quando un limite per \(x\) che tende a zero non esiste. Ho chiesto al docente del mio corso e mi ha risposto che quando ho come risultato un numero fratto \(x\) e \(x\) ha potenza di grado dispari, allora questo non esiste. Ma questo accade anche nel caso di \(x\) che tende a zero meno/più?
Esempio:
\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\log \left( 1+4x \right)\cos \left( 4x \right)-{{e}^{2x}}\sin \left( 4x \right)}{\log \left( 1+4x \right){{e}^{2x}}-\cos \left( 4x \right)\sin \left( 4x \right)}\]
Il risultato dovrebbe essere \(-\frac{2}{7x}\)….Quindi non esiste??????
                
Gli rispondo così:
 
Caro Domenico,
la questione della non esistenza del limite nel senso che ti interessa, come credo di capire, non è legato in particolare al limite per \(x\) che tende a zero, ma al fatto che il limite da destra e da sinistra, pur esistendo, sono diversi, come appunto nel caso, ad esempio, di \(1/x\) per \(x\) che tende a 0: il limite non esiste perché il limite destro è \(+\infty\) mentre il limite sinistro è \(-\infty\). Il limite che proponi, invece, esiste proprio perché è un limite unilaterale, e in particolare vale \(+\infty\), come si può mostrare sia ricorrendo a de l’Hopital, sia, come credo tu abbia fatto, sostituendo alle funzioni gli sviluppi in polinomi di Taylor troncati ad un certo ordine: in questo modo si vede che per \(x\) che tende a 0 la funzione è effettivamente asintoticamente equivalente a \(-\frac{2}{7x}\), per cui il limite per \(x\) che tende a 0 da sinistra è appunto \(+\infty\), mentre il limite per \(x\) che tende a 0 da destra è \(-\infty\). Quello che non esiste è quindi il limite “completo” per \(x\) che tende a 0.
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, limiti


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